Страница 202 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

901. Укажите допустимые значения переменной:

а) $\frac{\sqrt{12-25x}}{6}$;

б) $\frac{1}{\sqrt{5x-11}};$

в) $\frac{4x}{\sqrt{(3x-2)^2}}$.

а)

Допустимые значения переменной для выражения $\frac{\sqrt{12 - 25x}}{6}$ определяются условием, при котором подкоренное выражение неотрицательно, так как извлечь квадратный корень можно только из неотрицательного числа. Знаменатель является константой (6) и не равен нулю, поэтому на него ограничений нет.

Составим и решим неравенство:

$12 - 25x \geq 0$

Перенесем слагаемое с переменной в правую часть:

$12 \geq 25x$

Разделим обе части неравенства на 25:

$\frac{12}{25} \geq x$

Это равносильно записи:

$x \leq \frac{12}{25}$

Таким образом, допустимыми значениями переменной являются все числа, не большие $\frac{12}{25}$.

Ответ: $x \leq \frac{12}{25}$.

б)

Для выражения $\frac{1}{\sqrt{5x - 11}}$ необходимо выполнение двух условий:

1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $5x - 11 \geq 0$.

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $\sqrt{5x - 11} \neq 0$.

Эти два условия можно объединить в одно строгое неравенство, так как если подкоренное выражение будет строго больше нуля, оба условия выполнятся.

$5x - 11 > 0$

Перенесем -11 в правую часть с противоположным знаком:

$5x > 11$

Разделим обе части на 5:

$x > \frac{11}{5}$

Допустимыми значениями переменной являются все числа, строго большие $\frac{11}{5}$.

Ответ: $x > \frac{11}{5}$.

в)

В выражении $\frac{4x}{\sqrt{(3x - 2)^2}}$ переменная находится в знаменателе, который содержит корень.

Подкоренное выражение $(3x - 2)^2$ всегда неотрицательно, так как является квадратом действительного числа, то есть $(3x - 2)^2 \geq 0$ для любого $x$.

Единственное ограничение состоит в том, что знаменатель не должен равняться нулю.

$\sqrt{(3x - 2)^2} \neq 0$

Возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(3x - 2)^2 \neq 0$

Это возможно только тогда, когда выражение в скобках не равно нулю:

$3x - 2 \neq 0$

Решим это уравнение:

$3x \neq 2$

$x \neq \frac{2}{3}$

Следовательно, допустимыми являются любые значения переменной $x$, кроме $x = \frac{2}{3}$.

Ответ: $x \neq \frac{2}{3}$.

902. Найдите все натуральные значения $n$, при которых значение дроби $\frac{9n^2 + 12n + 12}{n}$ — натуральное число.

Чтобы значение дроби было натуральным числом, необходимо, чтобы числитель $9n^2 + 12n + 12$ делился нацело на знаменатель $n$. Так как по условию $n$ — натуральное число, то есть $n \ge 1$.

Преобразуем данное выражение, разделив его почленно на $n$:

$\frac{9n^2 + 12n + 12}{n} = \frac{9n^2}{n} + \frac{12n}{n} + \frac{12}{n} = 9n + 12 + \frac{12}{n}$

Рассмотрим полученное выражение. Поскольку $n$ — натуральное число, то $9n$ также является натуральным числом. Сумма натурального числа $9n$ и натурального числа $12$ ($9n+12$) всегда будет натуральным числом.

Для того чтобы вся сумма $9n + 12 + \frac{12}{n}$ была натуральным числом, необходимо, чтобы и слагаемое $\frac{12}{n}$ было целым числом. А так как $n$ натуральное, то $\frac{12}{n}$ должно быть натуральным числом.

Это возможно только в том случае, если $n$ является натуральным делителем числа 12.

Найдем все натуральные делители числа 12. Это числа, на которые 12 делится без остатка:

$1, 2, 3, 4, 6, 12.$

Следовательно, $n$ может принимать любое из этих значений.

Ответ: $1, 2, 3, 4, 6, 12.$

903. a) Выразите переменную h через S и a, если $S = \frac{1}{2}ah.$

б) Выразите переменную p через s и m, если $\frac{s}{p} = 0,5m.$

в) Выразите переменную t через s и a, если $s = \frac{at^2}{2}$ и $t > 0.$

а)

Для того чтобы выразить переменную $h$ из формулы $S=\frac{1}{2}ah$, необходимо выполнить алгебраические преобразования, чтобы изолировать $h$ в одной из частей равенства.

1. Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби в правой части:

$2 \cdot S = 2 \cdot \left(\frac{1}{2}ah\right)$

$2S = ah$

2. Теперь разделим обе части полученного уравнения на $a$. Это преобразование предполагает, что $a \neq 0$.

$\frac{2S}{a} = \frac{ah}{a}$

В результате получаем:

$h = \frac{2S}{a}$

Ответ: $h = \frac{2S}{a}$

б)

Чтобы выразить переменную $p$ из формулы $\frac{s}{p}=0,5m$, преобразуем данное уравнение. Из самой записи формулы следует, что $p \neq 0$.

1. Умножим обе части уравнения на $p$:

$p \cdot \frac{s}{p} = p \cdot (0,5m)$

$s = 0,5mp$

2. Чтобы изолировать $p$, разделим обе части уравнения на $0,5m$. Это преобразование предполагает, что $m \neq 0$.

$\frac{s}{0,5m} = \frac{0,5mp}{0,5m}$

$p = \frac{s}{0,5m}$

3. Упростим полученное выражение. Поскольку десятичная дробь $0,5$ равна обыкновенной дроби $\frac{1}{2}$, деление на 0,5 эквивалентно умножению на 2:

$p = \frac{s}{\frac{1}{2}m} = \frac{2s}{m}$

Ответ: $p = \frac{2s}{m}$

в)

Чтобы выразить переменную $t$ из формулы $s=\frac{at^2}{2}$ при условии $t > 0$, сначала выразим $t^2$, а затем извлечем квадратный корень.

1. Умножим обе части уравнения на 2:

$2 \cdot s = 2 \cdot \frac{at^2}{2}$

$2s = at^2$

2. Разделим обе части уравнения на $a$ (предполагая, что $a \neq 0$), чтобы выразить $t^2$:

$\frac{2s}{a} = \frac{at^2}{a}$

$t^2 = \frac{2s}{a}$

3. Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. В общем случае $t = \pm\sqrt{\frac{2s}{a}}$.

4. Согласно условию задачи $t > 0$, поэтому мы выбираем только положительное значение корня. Для существования действительного решения необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, то есть $\frac{2s}{a} \ge 0$.

$t = \sqrt{\frac{2s}{a}}$

Ответ: $t = \sqrt{\frac{2s}{a}}$

904. Велосипедист проехал 20 км по дороге, ведущей в гору, и 60 км по ровной местности, затратив на весь путь 6 ч. С какой скоростью ехал велосипедист на каждом участке пути, если известно, что в гору он ехал со скоростью, на 5 км/ч меньшей, чем по ровной местности?

Пусть скорость велосипедиста по ровной местности равна $x$ км/ч. Согласно условию задачи, скорость велосипедиста в гору была на 5 км/ч меньше, следовательно, она равна $(x - 5)$ км/ч.

Время движения можно вычислить по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ – расстояние, а $v$ – скорость.

Время, которое велосипедист ехал в гору, составляет: $t_1 = \frac{20}{x - 5}$ ч.

Время, которое велосипедист ехал по ровной местности, составляет: $t_2 = \frac{60}{x}$ ч.

Общее время в пути равно 6 часов, поэтому можно составить уравнение:

$t_1 + t_2 = 6$

$\frac{20}{x - 5} + \frac{60}{x} = 6$

Для решения этого уравнения необходимо, чтобы знаменатели не были равны нулю, то есть $x \ne 0$ и $x - 5 \ne 0$. Поскольку скорость не может быть отрицательной, а скорость в гору должна быть положительной, получаем условие $x > 5$.

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $x(x - 5)$:

$\frac{20x + 60(x - 5)}{x(x - 5)} = 6$

Умножим обе части уравнения на $x(x - 5)$, чтобы избавиться от дроби:

$20x + 60(x - 5) = 6x(x - 5)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$20x + 60x - 300 = 6x^2 - 30x$

$80x - 300 = 6x^2 - 30x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$6x^2 - 30x - 80x + 300 = 0$

$6x^2 - 110x + 300 = 0$

Для удобства разделим все члены уравнения на 2:

$3x^2 - 55x + 150 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):

$D = (-55)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 150 = 3025 - 1800 = 1225$

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{55 + \sqrt{1225}}{2 \cdot 3} = \frac{55 + 35}{6} = \frac{90}{6} = 15$

$x_2 = \frac{55 - \sqrt{1225}}{2 \cdot 3} = \frac{55 - 35}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$

Проверим найденные корни на соответствие условию $x > 5$.

Корень $x_1 = 15$ удовлетворяет условию ($15 > 5$).

Корень $x_2 = \frac{10}{3} \approx 3.33$ не удовлетворяет условию ($3.33 < 5$), так как при такой скорости по ровной местности скорость в гору $(x-5)$ была бы отрицательной, что физически невозможно. Этот корень является посторонним.

Следовательно, скорость велосипедиста по ровной местности составляет $15$ км/ч.

Теперь найдем скорость велосипедиста в гору:

$x - 5 = 15 - 5 = 10$ км/ч.

Ответ: скорость велосипедиста в гору — 10 км/ч, скорость по ровной местности — 15 км/ч.

1 Что называется пересечением двух множеств? объединением двух множеств?

Что называется пересечением двух множеств?

Пересечением двух множеств (обозначим их A и B) называется новое множество, которое состоит из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат одновременно и множеству A, и множеству B. Иными словами, это их общая часть.
Операция пересечения множеств обозначается символом $ \cap $. Запись $ C = A \cap B $ читается как "множество C является пересечением множеств A и B".
Формальное определение пересечения: $ A \cap B = \{x \mid x \in A \text{ и } x \in B\} $. Это означает, что элемент $ x $ принадлежит пересечению $ A \cap B $ тогда и только тогда, когда $ x $ принадлежит A и $ x $ принадлежит B.
Пример:
Пусть даны два множества: $ A = \{a, b, c, d\} $ и $ B = \{c, d, e, f\} $.
Общими элементами для этих двух множеств являются 'c' и 'd'.
Следовательно, их пересечением будет множество $ A \cap B = \{c, d\} $.
Ответ: Пересечением двух множеств называется множество, содержащее все элементы, которые являются общими для этих двух множеств.

объединением двух множеств?

Объединением двух множеств A и B называется новое множество, которое состоит из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств (то есть, принадлежащих множеству A, или множеству B, или обоим сразу).
Операция объединения множеств обозначается символом $ \cup $. Запись $ D = A \cup B $ читается как "множество D является объединением множеств A и B".
Формальное определение объединения: $ A \cup B = \{x \mid x \in A \text{ или } x \in B\} $. Это означает, что элемент $ x $ принадлежит объединению $ A \cup B $ тогда и только тогда, когда $ x $ принадлежит A или $ x $ принадлежит B.
Пример:
Возьмем те же множества: $ A = \{a, b, c, d\} $ и $ B = \{c, d, e, f\} $.
Чтобы найти их объединение, нужно взять все элементы из A и добавить к ним все элементы из B, которые еще не были включены. Общие элементы ('c' и 'd') включаются в результирующее множество только один раз.
Следовательно, их объединением будет множество $ A \cup B = \{a, b, c, d, e, f\} $.
Ответ: Объединением двух множеств называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств.

2 Изобразите на координатной прямой числовые промежутки различного вида, назовите и обозначьте их.

Числовые промежутки — это множества чисел, которые можно изобразить на координатной прямой. Рассмотрим их основные виды.

Отрезок

Отрезок — это множество всех действительных чисел $x$, удовлетворяющих двойному неравенству $a \le x \le b$. Концевые точки $a$ и $b$ принадлежат этому промежутку.
Обозначение: $[a, b]$. Квадратные скобки показывают, что концы промежутка включены.
Изображение на координатной прямой: Концевые точки изображаются закрашенными (сплошными) кружками.

Ответ: Отрезок — это числовой промежуток вида $[a, b]$, соответствующий неравенству $a \le x \le b$. На координатной прямой концы отрезка обозначаются закрашенными точками.

Интервал

Интервал — это множество всех действительных чисел $x$, удовлетворяющих двойному неравенству $a < x < b$. Концевые точки $a$ и $b$ не принадлежат этому промежутку.
Обозначение: $(a, b)$. Круглые скобки показывают, что концы промежутка не включены.
Изображение на координатной прямой: Концевые точки изображаются выколотыми (пустыми) кружками.

Ответ: Интервал — это числовой промежуток вида $(a, b)$, соответствующий неравенству $a < x < b$. На координатной прямой концы интервала обозначаются выколотыми точками.

Полуинтервал

Полуинтервал (или полуоткрытый промежуток) — это промежуток, у которого один конец включен в множество, а другой — нет. Существует два вида:

• Промежуток вида $[a, b)$, соответствующий неравенству $a \le x < b$.

• Промежуток вида $(a, b]$, соответствующий неравенству $a < x \le b$.

Ответ: Полуинтервал — это числовой промежуток, включающий только один из своих концов. Обозначается как $[a, b)$ или $(a, b]$. На прямой один конец отмечается закрашенной точкой, а другой — выколотой.

Числовой луч

Числовой луч — это множество всех чисел, лежащих по одну сторону от некоторой точки, которая может как входить, так и не входить в этот промежуток.

• Замкнутый луч $[a, +\infty)$, соответствующий неравенству $x \ge a$.

• Открытый луч $(a, +\infty)$, соответствующий неравенству $x > a$.

• Замкнутый луч $(-\infty, b]$, соответствующий неравенству $x \le b$.

• Открытый луч $(-\infty, b)$, соответствующий неравенству $x < b$.

Ответ: Числовой луч — это бесконечный промежуток, ограниченный с одной стороны. Он может быть замкнутым (например, $[a, +\infty)$) или открытым (например, $(a, +\infty)$), что отражается на изображении начальной точки (закрашенная или выколотая).

Числовая прямая

Числовая прямая — это множество всех действительных чисел.
Обозначение: $(-\infty, +\infty)$ или символ $\mathbb{R}$.
Изображение на координатной прямой: Заштриховывается вся ось.

Ответ: Вся числовая прямая представляет собой промежуток $(-\infty, +\infty)$, то есть множество всех действительных чисел $\mathbb{R}$.

3. Что называется решением неравенства? Является ли решением неравенства $3x - 11 > 1$ число 5? число 2? Что значит решить неравенство?

Что называется решением неравенства?

Решением неравенства с одной переменной называется такое значение переменной, которое при подстановке в неравенство обращает его в верное числовое неравенство. Например, для неравенства $x > 2$, число 3 является решением, так как $3 > 2$ — это верное утверждение.

Ответ: Решением неравенства называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.

Является ли решением неравенства $3x - 11 > 1$ число 5?

Для проверки необходимо подставить значение $x = 5$ в исходное неравенство и проверить, будет ли оно верным.

$3 \cdot 5 - 11 > 1$

Выполним вычисления в левой части неравенства:

$15 - 11 > 1$

$4 > 1$

Мы получили верное числовое неравенство, так как 4 действительно больше 1. Таким образом, число 5 является решением данного неравенства.

Ответ: Да, является.

Является ли решением неравенства $3x - 11 > 1$ число 2?

Аналогично предыдущему пункту, подставим значение $x = 2$ в неравенство:

$3 \cdot 2 - 11 > 1$

Выполним вычисления в левой части:

$6 - 11 > 1$

$-5 > 1$

Мы получили неверное числовое неравенство, так как -5 не больше 1. Следовательно, число 2 не является решением данного неравенства.

Ответ: Нет, не является.

Что значит решить неравенство?

Решить неравенство — это значит найти все его решения или доказать, что решений нет. Множество всех решений неравенства обычно представляют в виде числового промежутка (например, $(4; +\infty)$) или объединения промежутков.

Ответ: Найти все его решения или доказать, что их не существует.

4 Что называется решением системы неравенств? Является ли решением системы неравенств $\begin{cases} 2x+1 > 3, \\ 3x < 10 \end{cases}$ число 3? число 5? Что значит решить систему неравенств?

Что называется решением системы неравенств?

Решением системы неравенств с одной переменной называется такое значение переменной, при подстановке которого каждое из неравенств системы обращается в верное числовое неравенство.

Ответ: Решением системы неравенств является значение переменной, которое удовлетворяет каждому неравенству в системе.

Является ли решением системы неравенств $\begin{cases} 2x + 1 > 3, \\ 3x < 10 \end{cases}$ число 3?

Чтобы проверить, является ли число 3 решением данной системы, необходимо подставить это значение вместо $x$ в каждое неравенство и проверить, будут ли они верными.
1. Проверяем первое неравенство: $2x + 1 > 3$.
При $x=3$: $2 \cdot 3 + 1 > 3 \implies 6 + 1 > 3 \implies 7 > 3$. Неравенство верное.
2. Проверяем второе неравенство: $3x < 10$.
При $x=3$: $3 \cdot 3 < 10 \implies 9 < 10$. Неравенство верное.
Поскольку число 3 удовлетворяет обоим неравенствам системы, оно является её решением.

Ответ: Да, является.

число 5?

Аналогично проверим, является ли число 5 решением системы. Подставим $x=5$ в каждое неравенство.
1. Проверяем первое неравенство: $2x + 1 > 3$.
При $x=5$: $2 \cdot 5 + 1 > 3 \implies 10 + 1 > 3 \implies 11 > 3$. Неравенство верное.
2. Проверяем второе неравенство: $3x < 10$.
При $x=5$: $3 \cdot 5 < 10 \implies 15 < 10$. Неравенство неверное.
Так как число 5 не удовлетворяет второму неравенству, оно не является решением системы.

Ответ: Нет, не является.

Что значит решить систему неравенств?

Решить систему неравенств — это значит найти множество всех её решений или доказать, что решений не существует. Множество решений системы является пересечением множеств решений каждого из входящих в неё неравенств.

Ответ: Решить систему неравенств означает найти все значения переменной, которые являются решениями каждого из неравенств системы, или доказать, что таких значений нет.