Страница 201 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

893. Решите двойное неравенство и укажите три числа, являющиеся его решениями:

а) $-6,5 < \frac{7x+6}{2} \leq 20,5$;

б) $-1 < \frac{4-a}{3} \leq 5$;

в) $-2 \leq \frac{3x-1}{8} \leq 0$;

г) $-2,5 \leq \frac{1-3y}{2} < 1,5$.

а) Дано двойное неравенство:
$ -6,5 < \frac{7x+6}{2} \le 20,5 $
Чтобы избавиться от дроби, умножим все три части неравенства на 2:
$ -6,5 \cdot 2 < (7x+6) \le 20,5 \cdot 2 $
$ -13 < 7x+6 \le 41 $
Теперь вычтем 6 из всех частей, чтобы изолировать слагаемое с переменной $x$:
$ -13 - 6 < 7x \le 41 - 6 $
$ -19 < 7x \le 35 $
Наконец, разделим все части на 7, чтобы найти $x$:
$ -\frac{19}{7} < x \le \frac{35}{7} $
$ -2\frac{5}{7} < x \le 5 $
Решением является полуинтервал $(-2\frac{5}{7}; 5]$.
Примеры трех чисел из этого промежутка: 0, 2, 5.
Ответ: Решением неравенства является промежуток $(-2\frac{5}{7}; 5]$. Три числа, являющиеся его решениями: 0, 2, 5.

б) Дано двойное неравенство:
$ -1 < \frac{4-a}{3} \le 5 $
Умножим все части неравенства на 3:
$ -1 \cdot 3 < 4-a \le 5 \cdot 3 $
$ -3 < 4-a \le 15 $
Вычтем 4 из всех частей:
$ -3 - 4 < -a \le 15 - 4 $
$ -7 < -a \le 11 $
Умножим все части на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$ 7 > a \ge -11 $
Запишем неравенство в более привычном виде, от меньшего числа к большему:
$ -11 \le a < 7 $
Решением является полуинтервал $[-11; 7)$.
Примеры трех чисел из этого промежутка: -11, 0, 6.
Ответ: Решением неравенства является промежуток $[-11; 7)$. Три числа, являющиеся его решениями: -11, 0, 6.

в) Дано двойное неравенство:
$ -2 \le \frac{3x-1}{8} \le 0 $
Умножим все части неравенства на 8:
$ -2 \cdot 8 \le 3x-1 \le 0 \cdot 8 $
$ -16 \le 3x-1 \le 0 $
Прибавим 1 ко всем частям:
$ -16 + 1 \le 3x \le 0 + 1 $
$ -15 \le 3x \le 1 $
Разделим все части на 3:
$ \frac{-15}{3} \le x \le \frac{1}{3} $
$ -5 \le x \le \frac{1}{3} $
Решением является отрезок $[-5; \frac{1}{3}]$.
Примеры трех чисел из этого промежутка: -5, 0, $\frac{1}{3}$.
Ответ: Решением неравенства является промежуток $[-5; \frac{1}{3}]$. Три числа, являющиеся его решениями: -5, 0, $\frac{1}{3}$.

г) Дано двойное неравенство:
$ -2,5 \le \frac{1-3y}{2} < 1,5 $
Умножим все части неравенства на 2:
$ -2,5 \cdot 2 \le 1-3y < 1,5 \cdot 2 $
$ -5 \le 1-3y < 3 $
Вычтем 1 из всех частей:
$ -5 - 1 \le -3y < 3 - 1 $
$ -6 \le -3y < 2 $
Разделим все части на -3, меняя знаки неравенства на противоположные:
$ \frac{-6}{-3} \ge y > \frac{2}{-3} $
$ 2 \ge y > -\frac{2}{3} $
Запишем неравенство в стандартном виде:
$ -\frac{2}{3} < y \le 2 $
Решением является полуинтервал $(-\frac{2}{3}; 2]$.
Примеры трех чисел из этого промежутка: 0, 1, 2.
Ответ: Решением неравенства является промежуток $(-\frac{2}{3}; 2]$. Три числа, являющиеся его решениями: 0, 1, 2.

894. Решите двойное неравенство:

a) $-1 \le 15x + 14 < 44;$

б) $-1 \le \frac{6-a}{3} \le 1;$

в) $-1,2 < 1 - 2y < 2,4;$

г) $-2 < \frac{4x-1}{3} \le 0.$

а)

Дано двойное неравенство: $-1 \le 15x + 14 < 44$.

Чтобы найти решение, нужно изолировать $x$ в середине. Сначала вычтем 14 из всех трех частей неравенства:

$-1 - 14 \le 15x + 14 - 14 < 44 - 14$

$-15 \le 15x < 30$

Теперь разделим все три части неравенства на 15. Так как 15 — положительное число, знаки неравенства не меняются:

$\frac{-15}{15} \le \frac{15x}{15} < \frac{30}{15}$

$-1 \le x < 2$

Решение можно записать в виде промежутка. Знак $\le$ означает, что число -1 включается в промежуток (квадратная скобка), а знак < означает, что число 2 не включается (круглая скобка).

Ответ: $x \in [-1, 2)$.

б)

Дано двойное неравенство: $-1 \le \frac{6-a}{3} \le 1$.

Сначала умножим все три части неравенства на 3, чтобы избавиться от знаменателя. Так как 3 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:

$-1 \cdot 3 \le \frac{6-a}{3} \cdot 3 \le 1 \cdot 3$

$-3 \le 6 - a \le 3$

Далее вычтем 6 из всех частей неравенства, чтобы изолировать член с переменной $a$:

$-3 - 6 \le 6 - a - 6 \le 3 - 6$

$-9 \le -a \le -3$

Теперь умножим все части на -1, чтобы получить $a$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$-9 \cdot (-1) \ge -a \cdot (-1) \ge -3 \cdot (-1)$

$9 \ge a \ge 3$

Запишем неравенство в более привычном виде, от меньшего числа к большему:

$3 \le a \le 9$

Ответ: $a \in [3, 9]$.

в)

Дано двойное неравенство: $-1,2 < 1 - 2y < 2,4$.

Вычтем 1 из всех частей неравенства:

$-1,2 - 1 < 1 - 2y - 1 < 2,4 - 1$

$-2,2 < -2y < 1,4$

Теперь разделим все части на -2. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$\frac{-2,2}{-2} > \frac{-2y}{-2} > \frac{1,4}{-2}$

$1,1 > y > -0,7$

Запишем неравенство в стандартном виде (от меньшего к большему):

$-0,7 < y < 1,1$

Ответ: $y \in (-0,7; 1,1)$.

г)

Дано двойное неравенство: $-2 < \frac{4x-1}{3} \le 0$.

Умножим все части неравенства на 3, чтобы убрать знаменатель:

$-2 \cdot 3 < \frac{4x-1}{3} \cdot 3 \le 0 \cdot 3$

$-6 < 4x - 1 \le 0$

Теперь прибавим 1 ко всем частям неравенства:

$-6 + 1 < 4x - 1 + 1 \le 0 + 1$

$-5 < 4x \le 1$

Наконец, разделим все части на 4. Так как 4 — положительное число, знаки неравенства не меняются:

$\frac{-5}{4} < \frac{4x}{4} \le \frac{1}{4}$

$-1,25 < x \le 0,25$

Решение в виде промежутка. Знак < означает, что число -1,25 не включается (круглая скобка), а знак $\le$ означает, что число 0,25 включается (квадратная скобка).

Ответ: $x \in (-1,25; 0,25]$.

895. a) При каких $y$ значения двучлена $3y - 5$ принадлежат промежутку $(-1; 1)$?

б) При каких $b$ значения дроби $\frac{5-2b}{4}$ принадлежат промежутку $[-2; 1]$?

а) Чтобы найти значения $y$, при которых значения двучлена $3y - 5$ принадлежат промежутку $(-1; 1)$, необходимо решить двойное неравенство:

$-1 < 3y - 5 < 1$

Сначала прибавим 5 ко всем частям неравенства, чтобы избавиться от $-5$ в центральной части:

$-1 + 5 < 3y - 5 + 5 < 1 + 5$

$4 < 3y < 6$

Теперь разделим все части неравенства на 3, чтобы найти $y$:

$\frac{4}{3} < \frac{3y}{3} < \frac{6}{3}$

$\frac{4}{3} < y < 2$

Следовательно, значения $y$ должны принадлежать интервалу от $\frac{4}{3}$ до $2$.

Ответ: $y \in (\frac{4}{3}; 2)$.

б) Чтобы найти значения $b$, при которых значения дроби $\frac{5 - 2b}{4}$ принадлежат промежутку $[-2; 1]$, необходимо решить двойное неравенство:

$-2 \le \frac{5 - 2b}{4} \le 1$

Сначала умножим все части неравенства на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

$-2 \cdot 4 \le 5 - 2b \le 1 \cdot 4$

$-8 \le 5 - 2b \le 4$

Теперь вычтем 5 из всех частей неравенства:

$-8 - 5 \le 5 - 2b - 5 \le 4 - 5$

$-13 \le -2b \le -1$

Разделим все части неравенства на -2. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$\frac{-13}{-2} \ge \frac{-2b}{-2} \ge \frac{-1}{-2}$

$\frac{13}{2} \ge b \ge \frac{1}{2}$

Запишем это неравенство в стандартном порядке (от меньшего к большему):

$\frac{1}{2} \le b \le \frac{13}{2}$

Следовательно, значения $b$ должны принадлежать отрезку от $\frac{1}{2}$ до $\frac{13}{2}$.

Ответ: $b \in [\frac{1}{2}; \frac{13}{2}]$.

896. При каких значениях $a$ уравнение

$x^2 + 2ax + a^2 - 4 = 0$

имеет два корня, принадлежащие промежутку $(-6; 6)$?

Данное уравнение является квадратным относительно переменной $x$: $x^2 + 2ax + a^2 - 4 = 0$.

Для нахождения корней преобразуем левую часть уравнения, выделив полный квадрат:

$(x^2 + 2ax + a^2) - 4 = 0$

$(x + a)^2 - 4 = 0$

Перенесем 4 в правую часть и извлечем корень:

$(x + a)^2 = 4$

$x + a = \pm\sqrt{4}$

$x + a = \pm 2$

Отсюда находим два корня уравнения:

$x = -a \pm 2$

Таким образом, корнями уравнения являются $x_1 = -a - 2$ и $x_2 = -a + 2$.

Согласно условию задачи, оба корня должны принадлежать промежутку $(-6; 6)$. Это означает, что должны одновременно выполняться два условия:

$-6 < x_1 < 6$ и $-6 < x_2 < 6$.

Составим систему из двух двойных неравенств:

$\begin{cases} -6 < -a - 2 < 6 \\ -6 < -a + 2 < 6 \end{cases}$

Решим первое неравенство системы:

$-6 < -a - 2 < 6$

Прибавим 2 ко всем частям неравенства:

$-6 + 2 < -a < 6 + 2$

$-4 < -a < 8$

Умножим все части на -1, изменив при этом знаки неравенства на противоположные:

$-8 < a < 4$

Теперь решим второе неравенство системы:

$-6 < -a + 2 < 6$

Вычтем 2 из всех частей неравенства:

$-6 - 2 < -a < 6 - 2$

$-8 < -a < 4$

Умножим все части на -1, изменив знаки неравенства на противоположные:

$-4 < a < 8$

Для выполнения условия задачи необходимо, чтобы значение $a$ удовлетворяло обоим неравенствам одновременно. Найдем пересечение полученных интервалов:

$a \in (-8; 4) \cap (-4; 8)$

Пересечением этих двух интервалов является интервал $(-4; 4)$.

Ответ: $a \in (-4; 4)$.

897. При каких значениях b уравнение $x^2 - 6bx + 9b^2 - 16 = 0$ имеет два отрицательных корня?

Рассмотрим данное уравнение: $x^2 - 6bx + 9b^2 - 16 = 0$.

Можно заметить, что первые три слагаемых в левой части уравнения представляют собой полный квадрат разности: $x^2 - 2 \cdot x \cdot (3b) + (3b)^2 = (x - 3b)^2$.

Перепишем исходное уравнение, используя эту формулу:

$(x - 3b)^2 - 16 = 0$

Это уравнение легко решить относительно $x$. Перенесем 16 в правую часть:

$(x - 3b)^2 = 16$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x - 3b = \pm 4$

Теперь выразим $x$, чтобы найти корни уравнения:

$x = 3b \pm 4$

Таким образом, мы получили два корня уравнения:

$x_1 = 3b - 4$ и $x_2 = 3b + 4$.

Согласно условию задачи, оба корня должны быть отрицательными. Это значит, что должны одновременно выполняться два неравенства: $x_1 < 0$ и $x_2 < 0$.

Подставим выражения для корней и решим полученные неравенства.

Первое неравенство: $3b - 4 < 0$.

Решаем его: $3b < 4$, откуда $b < \frac{4}{3}$.

Второе неравенство: $3b + 4 < 0$.

Решаем его: $3b < -4$, откуда $b < -\frac{4}{3}$.

Оба условия должны выполняться одновременно. Следовательно, мы ищем пересечение множеств решений этих двух неравенств: $b < \frac{4}{3}$ и $b < -\frac{4}{3}$.

Если число меньше, чем $-\frac{4}{3}$, то оно заведомо будет меньше, чем $\frac{4}{3}$. Поэтому общее решение для системы неравенств — это $b < -\frac{4}{3}$.

Ответ: уравнение имеет два отрицательных корня при $b < -\frac{4}{3}$.

898. Решите систему неравенств:

а) $ \begin{cases} x > 8, \\ x > 7, \\ x > -4; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} y < -1, \\ y < -5, \\ y < 4; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} m > 9, \\ m > 10, \\ m < 12; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} q < 6, \\ q < 5, \\ q < 1. \end{cases} $

а) Чтобы решить систему неравенств $ \begin{cases} x > 8, \\ x > 7, \\ x > -4 \end{cases} $, необходимо найти множество значений $x$, которые удовлетворяют всем трем неравенствам одновременно.
Изобразим решения каждого неравенства на числовой оси.
1. $x > 8$: все числа правее 8.
2. $x > 7$: все числа правее 7.
3. $x > -4$: все числа правее -4.
Пересечением этих трех множеств будут числа, которые одновременно больше 8, 7 и -4. Если число больше 8, оно автоматически больше 7 и -4. Таким образом, наиболее строгим является неравенство $x > 8$. Это и есть решение системы.
Ответ: $x > 8$.

б) Чтобы решить систему неравенств $ \begin{cases} y < -1, \\ y < -5, \\ y < 4 \end{cases} $, необходимо найти множество значений $y$, которые удовлетворяют всем трем неравенствам одновременно.
Изобразим решения каждого неравенства на числовой оси.
1. $y < -1$: все числа левее -1.
2. $y < -5$: все числа левее -5.
3. $y < 4$: все числа левее 4.
Пересечением этих трех множеств будут числа, которые одновременно меньше -1, -5 и 4. Если число меньше -5, оно автоматически меньше -1 и 4. Таким образом, наиболее строгим является неравенство $y < -5$. Это и есть решение системы.
Ответ: $y < -5$.

в) Чтобы решить систему неравенств $ \begin{cases} m > 9, \\ m > 10, \\ m < 12 \end{cases} $, необходимо найти множество значений $m$, которые удовлетворяют всем трем неравенствам одновременно.
Сначала рассмотрим неравенства $m > 9$ и $m > 10$. Их общее решение - это $m > 10$, так как это более строгое условие.
Теперь система упрощается до двух неравенств: $ \begin{cases} m > 10, \\ m < 12 \end{cases} $.
Решением этой системы являются все числа, которые больше 10 и одновременно меньше 12. Это можно записать в виде двойного неравенства.
Ответ: $10 < m < 12$.

г) Чтобы решить систему неравенств $ \begin{cases} q < 6, \\ q < 5, \\ q < 1 \end{cases} $, необходимо найти множество значений $q$, которые удовлетворяют всем трем неравенствам одновременно.
Изобразим решения каждого неравенства на числовой оси.
1. $q < 6$: все числа левее 6.
2. $q < 5$: все числа левее 5.
3. $q < 1$: все числа левее 1.
Пересечением этих трех множеств будут числа, которые одновременно меньше 6, 5 и 1. Если число меньше 1, оно автоматически меньше 5 и 6. Таким образом, наиболее строгим является неравенство $q < 1$. Это и есть решение системы.
Ответ: $q < 1$.

899. Решите систему неравенств:

a) $\begin{cases}x - 4 < 8, \\2x + 5 < 13, \\3 - x > 1;\end{cases}$

б) $\begin{cases}2x - 1 < x + 3, \\5x - 1 > 6 - 2x, \\x - 5 < 0.\end{cases}$

а)

Для решения системы необходимо решить каждое неравенство по отдельности и найти пересечение их решений.

1. Решим первое неравенство:

$x - 4 < 8$

$x < 8 + 4$

$x < 12$

2. Решим второе неравенство:

$2x + 5 < 13$

$2x < 13 - 5$

$2x < 8$

$x < 4$

3. Решим третье неравенство:

$3 - x > 1$

$-x > 1 - 3$

$-x > -2$

При умножении на -1 знак неравенства меняется на противоположный:

$x < 2$

Теперь необходимо найти общее решение для $x < 12$, $x < 4$ и $x < 2$. Решением системы будет пересечение этих трех множеств. Наиболее строгим является неравенство $x < 2$, так как любое число, меньшее 2, будет также меньше 4 и 12. Таким образом, решением системы является $x < 2$. В виде интервала это записывается как $(-\infty, 2)$.

Ответ: $(-\infty, 2)$.

б)

Решим каждое неравенство данной системы:

1. Решим первое неравенство:

$2x - 1 < x + 3$

$2x - x < 3 + 1$

$x < 4$

2. Решим второе неравенство:

$5x - 1 > 6 - 2x$

$5x + 2x > 6 + 1$

$7x > 7$

$x > 1$

3. Решим третье неравенство:

$x - 5 < 0$

$x < 5$

Теперь найдем пересечение полученных решений: $x < 4$, $x > 1$ и $x < 5$. Мы ищем значения $x$, которые удовлетворяют всем трем условиям одновременно. Условия $x < 4$ и $x < 5$ вместе означают, что должно выполняться более строгое из них, то есть $x < 4$. Следовательно, система эквивалентна следующей: $x > 1$ и $x < 4$. Это можно записать в виде двойного неравенства $1 < x < 4$. В виде интервала это записывается как $(1, 4)$.

Ответ: $(1, 4)$.

900. Решите систему неравенств:

a) $ \begin{cases} 3 - 2a < 13, \\ a - 1 > 0, \\ 5a - 35 < 0; \end{cases} $ б) $ \begin{cases} 6 - 4a < 2, \\ 6 - a > 2, \\ 3a - 1 < 8; \end{cases} $ в) $ \begin{cases} 5a - 8 > 7, \\ 4 - a < 3, \\ 2 - 3a > 10. \end{cases} $

а) Чтобы решить систему неравенств, необходимо решить каждое неравенство по отдельности и найти пересечение их решений.

$ \begin{cases} 3 - 2a < 13, \\ a - 1 > 0, \\ 5a - 35 < 0; \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $3 - 2a < 13$

Вычтем 3 из обеих частей: $-2a < 13 - 3$

$-2a < 10$

Разделим обе части на -2 и сменим знак неравенства на противоположный: $a > \frac{10}{-2}$

$a > -5$

2. Решим второе неравенство: $a - 1 > 0$

Прибавим 1 к обеим частям: $a > 1$

3. Решим третье неравенство: $5a - 35 < 0$

Прибавим 35 к обеим частям: $5a < 35$

Разделим обе части на 5: $a < \frac{35}{5}$

$a < 7$

Теперь нам нужно найти значения $a$, которые удовлетворяют всем трем условиям одновременно: $a > -5$, $a > 1$ и $a < 7$.

Из неравенств $a > -5$ и $a > 1$ следует более строгое условие $a > 1$.

Таким образом, решение системы — это пересечение $a > 1$ и $a < 7$, что можно записать в виде двойного неравенства: $1 < a < 7$.

Ответ: $a \in (1, 7)$.

б) Решим следующую систему неравенств:

$ \begin{cases} 6 - 4a < 2, \\ 6 - a > 2, \\ 3a - 1 < 8; \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $6 - 4a < 2$

Вычтем 6 из обеих частей: $-4a < 2 - 6$

$-4a < -4$

Разделим обе части на -4 и сменим знак неравенства: $a > \frac{-4}{-4}$

$a > 1$

2. Решим второе неравенство: $6 - a > 2$

Вычтем 6 из обеих частей: $-a > 2 - 6$

$-a > -4$

Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства: $a < 4$

3. Решим третье неравенство: $3a - 1 < 8$

Прибавим 1 к обеим частям: $3a < 8 + 1$

$3a < 9$

Разделим обе части на 3: $a < \frac{9}{3}$

$a < 3$

Найдем пересечение решений: $a > 1$, $a < 4$ и $a < 3$.

Из неравенств $a < 4$ и $a < 3$ следует более строгое условие $a < 3$.

Следовательно, решение системы — это пересечение $a > 1$ и $a < 3$, что можно записать как $1 < a < 3$.

Ответ: $a \in (1, 3)$.

в) Решим последнюю систему неравенств:

$ \begin{cases} 5a - 8 > 7, \\ 4 - a < 3, \\ 2 - 3a > 10; \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $5a - 8 > 7$

Прибавим 8 к обеим частям: $5a > 7 + 8$

$5a > 15$

Разделим обе части на 5: $a > \frac{15}{5}$

$a > 3$

2. Решим второе неравенство: $4 - a < 3$

Вычтем 4 из обеих частей: $-a < 3 - 4$

$-a < -1$

Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства: $a > 1$

3. Решим третье неравенство: $2 - 3a > 10$

Вычтем 2 из обеих частей: $-3a > 10 - 2$

$-3a > 8$

Разделим обе части на -3 и сменим знак неравенства: $a < \frac{8}{-3}$

$a < -\frac{8}{3}$

Найдем пересечение решений: $a > 3$, $a > 1$ и $a < -\frac{8}{3}$.

Из неравенств $a > 3$ и $a > 1$ следует более строгое условие $a > 3$.

Теперь нам нужно найти значения $a$, которые удовлетворяют одновременно условиям $a > 3$ и $a < -\frac{8}{3}$.

Поскольку $3$ больше, чем $-\frac{8}{3}$ (или $-2\frac{2}{3}$), не существует числа, которое было бы одновременно больше 3 и меньше $-\frac{8}{3}$. Пересечение этих множеств пусто.

Ответ: решений нет.