Страница 194 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

867. Одна из переплётных мастерских берёт по 48 р. за книгу и ещё 140 р. за оформление заказа, а другая — по 56 р. за книгу и 90 р. за оформление заказа. Укажите наименьшее число книг, при котором заказ выгоднее сделать в первой мастерской.

Для того чтобы найти наименьшее число книг, при котором заказ выгоднее сделать в первой мастерской, необходимо составить и решить неравенство.

Пусть $x$ — искомое количество книг.

Стоимость заказа в первой мастерской ($C_1$) складывается из стоимости переплёта всех книг и фиксированной платы за оформление заказа. Она выражается формулой:
$C_1(x) = 48x + 140$ (рублей).

Аналогично, стоимость заказа во второй мастерской ($C_2$) выражается формулой:
$C_2(x) = 56x + 90$ (рублей).

Заказ в первой мастерской будет выгоднее, если его стоимость будет меньше стоимости заказа во второй. Запишем это в виде неравенства:
$C_1(x) < C_2(x)$
$48x + 140 < 56x + 90$

Теперь решим это неравенство. Перенесем слагаемые, содержащие переменную $x$, в правую часть, а свободные члены — в левую:
$140 - 90 < 56x - 48x$
$50 < 8x$

Разделим обе части неравенства на 8, чтобы выразить $x$:
$x > \frac{50}{8}$
$x > 6.25$

Так как количество книг $x$ может быть только целым числом, наименьшее целое число, которое больше 6.25, — это 7.

Ответ: 7.

868. За денежный почтовый перевод до 1000 р. в некотором городе берётся плата 7 р. плюс 5% от переводимой суммы. Посетитель имеет 800 р. Укажите наибольшее целое число рублей, которое он может перевести.

Пусть $x$ — это сумма денежного перевода в рублях. Согласно условию, за перевод взимается плата в размере 7 рублей и дополнительно 5% от переводимой суммы.

Общая стоимость операции складывается из самой суммы перевода $x$ и комиссии за перевод.

Комиссия составляет $7 + 0.05 \cdot x$ рублей.

Сумма перевода вместе с комиссией не должна превышать количество денег, которое есть у посетителя, то есть 800 рублей. Составим и решим неравенство:

$x + (7 + 0.05x) \le 800$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$:

$1.05x + 7 \le 800$

Перенесем 7 в правую часть неравенства:

$1.05x \le 800 - 7$

$1.05x \le 793$

Теперь найдем $x$, разделив обе части на 1.05:

$x \le \frac{793}{1.05}$

$x \le 755.238...$

По условию задачи, нам нужно найти наибольшее целое число рублей, которое можно перевести. Поскольку $x$ должен быть целым числом и не превышать $755.238...$, наибольшим таким значением будет 755.

Проверим это решение. Если перевести 755 рублей, то общие затраты составят:

$755 + (7 + 0.05 \cdot 755) = 755 + 7 + 37.75 = 799.75$ рублей.

Эта сумма меньше 800 рублей ($799.75 < 800$), значит, такой перевод возможен.

Если попробовать перевести 756 рублей, то затраты будут:

$756 + (7 + 0.05 \cdot 756) = 756 + 7 + 37.8 = 800.8$ рублей.

Эта сумма больше 800 рублей ($800.8 > 800$), что невозможно.

Следовательно, наибольшее целое число рублей для перевода — 755.

Ответ: 755

869. Туристы отправились на моторной лодке по течению реки и должны вернуться обратно к стоянке не позднее чем через $3 \text{ ч.}$. На какое расстояние могут отъехать туристы, если скорость течения реки $2 \text{ км/ч}$, а скорость лодки в стоячей воде $18 \text{ км/ч}$?

Пусть $S$ – искомое расстояние в километрах, на которое туристы могут отъехать от стоянки. Согласно условию, нам даны:

• Собственная скорость лодки (в стоячей воде): $v_{л} = 18$ км/ч.
• Скорость течения реки: $v_{т} = 2$ км/ч.
• Максимальное время на всю поездку (туда и обратно): $T = 3$ ч.

Сначала найдем скорость лодки по течению и против течения реки.

1. Скорость лодки по течению ($v_{по}$) равна сумме собственной скорости лодки и скорости течения:

$v_{по} = v_{л} + v_{т} = 18 + 2 = 20$ км/ч.

2. Скорость лодки против течения ($v_{прот}$) равна разности собственной скорости лодки и скорости течения:

$v_{прот} = v_{л} - v_{т} = 18 - 2 = 16$ км/ч.

Теперь выразим время, затраченное на путь в одну сторону и обратно. Время ($t$) вычисляется по формуле $t = \frac{\text{расстояние}}{\text{скорость}}$.

Время, затраченное на путь по течению на расстояние $S$, составляет:

$t_{по} = \frac{S}{v_{по}} = \frac{S}{20}$ ч.

Время, затраченное на обратный путь (против течения) на то же расстояние $S$, составляет:

$t_{прот} = \frac{S}{v_{прот}} = \frac{S}{16}$ ч.

Общее время, затраченное на всю поездку, является суммой времени движения по течению и против течения. По условию, это время не должно превышать 3 часов.

$t_{по} + t_{прот} \le 3$

Составим и решим неравенство:

$\frac{S}{20} + \frac{S}{16} \le 3$

Для решения этого неравенства приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 20 и 16 равно 80.

$\frac{4 \cdot S}{4 \cdot 20} + \frac{5 \cdot S}{5 \cdot 16} \le 3$

$\frac{4S}{80} + \frac{5S}{80} \le 3$

$\frac{4S + 5S}{80} \le 3$

$\frac{9S}{80} \le 3$

Чтобы найти $S$, умножим обе части неравенства на 80, а затем разделим на 9:

$9S \le 3 \cdot 80$

$9S \le 240$

$S \le \frac{240}{9}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$S \le \frac{80}{3}$

Представим результат в виде смешанного числа:

$S \le 26 \frac{2}{3}$

Это означает, что туристы могут отъехать на расстояние, не превышающее $26 \frac{2}{3}$ км.

Ответ: Туристы могут отъехать на расстояние не более $26 \frac{2}{3}$ км.

870. Найдите значение дроби $\frac{x^2+x-5}{x-1}$ при $x = 1 - \sqrt{3}$.

Чтобы найти значение дроби $\frac{x^2+x-5}{x-1}$ при $x = 1 - \sqrt{3}$, необходимо подставить данное значение $x$ в выражение и выполнить вычисления.

Способ 1: Прямая подстановка

Сначала вычислим значение знаменателя дроби:

$x - 1 = (1 - \sqrt{3}) - 1 = -\sqrt{3}$.

Далее вычислим значение числителя $x^2+x-5$. Для этого по частям найдем значение каждого слагаемого.

Возведем $x$ в квадрат:

$x^2 = (1 - \sqrt{3})^2$.

Используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, получаем:

$x^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 1 - 2\sqrt{3} + 3 = 4 - 2\sqrt{3}$.

Теперь подставим все значения в выражение числителя:

$x^2 + x - 5 = (4 - 2\sqrt{3}) + (1 - \sqrt{3}) - 5$.

Сгруппируем и упростим, складывая отдельно целые числа и отдельно слагаемые с корнем:

$(4 + 1 - 5) + (-2\sqrt{3} - \sqrt{3}) = 0 - 3\sqrt{3} = -3\sqrt{3}$.

Теперь, имея значения числителя и знаменателя, найдем значение всей дроби:

$\frac{x^2+x-5}{x-1} = \frac{-3\sqrt{3}}{-\sqrt{3}}$.

Сокращаем в числителе и знаменателе общий множитель $-\sqrt{3}$:

$\frac{-3\sqrt{3}}{-\sqrt{3}} = 3$.

Способ 2: Предварительное упрощение дроби

Задачу можно решить и другим способом, предварительно упростив алгебраическую дробь. Выделим целую часть дроби, разделив многочлен в числителе на многочлен в знаменателе. Для этого преобразуем числитель:

$x^2+x-5 = x^2-x+2x-5 = x(x-1)+2x-2-3 = x(x-1)+2(x-1)-3 = (x-1)(x+2)-3$.

Теперь подставим это выражение в числитель дроби и разделим почленно:

$\frac{(x-1)(x+2)-3}{x-1} = \frac{(x-1)(x+2)}{x-1} - \frac{3}{x-1} = x+2 - \frac{3}{x-1}$.

Теперь подставим значение $x = 1 - \sqrt{3}$ в упрощенное выражение:

$x+2 - \frac{3}{x-1} = (1 - \sqrt{3}) + 2 - \frac{3}{(1 - \sqrt{3}) - 1} = 3 - \sqrt{3} - \frac{3}{-\sqrt{3}} = 3 - \sqrt{3} + \frac{3}{\sqrt{3}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе последнего слагаемого, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$\frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$.

Тогда выражение принимает вид:

$3 - \sqrt{3} + \sqrt{3} = 3$.

Оба способа решения дают одинаковый результат.

Ответ: $3$

871. Решите уравнение:

а) $ \frac{x^2 - 4}{6} - \frac{x}{2} = \frac{x - 4}{3}; $

б) $ \frac{2x^2 - 1}{2} - x + \frac{1}{2} = 0. $

а) Решим уравнение $ \frac{x^2 - 4}{6} - \frac{x}{2} = \frac{x - 4}{3} $.
Для того чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, который для чисел 6, 2 и 3 равен 6. $$ 6 \cdot \frac{x^2 - 4}{6} - 6 \cdot \frac{x}{2} = 6 \cdot \frac{x - 4}{3} $$ $$ (x^2 - 4) - 3x = 2(x - 4) $$ Теперь раскроем скобки и упростим выражение: $$ x^2 - 4 - 3x = 2x - 8 $$ Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы привести его к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$. $$ x^2 - 3x - 2x - 4 + 8 = 0 $$ $$ x^2 - 5x + 4 = 0 $$ Полученное квадратное уравнение можно решить через дискриминант. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$: $$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 $$ Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$ x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4 $$ $$ x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 $$
Ответ: 1; 4.

б) Решим уравнение $ \frac{2x^2 - 1}{2} - x + \frac{1}{2} = 0 $.
Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателей: $$ 2 \cdot \left( \frac{2x^2 - 1}{2} - x + \frac{1}{2} \right) = 2 \cdot 0 $$ $$ (2x^2 - 1) - 2x + 1 = 0 $$ Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $$ 2x^2 - 1 - 2x + 1 = 0 $$ $$ 2x^2 - 2x = 0 $$ Это неполное квадратное уравнение. Для его решения вынесем общий множитель $2x$ за скобки: $$ 2x(x - 1) = 0 $$ Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:
1) $2x = 0 \implies x_1 = 0$
2) $x - 1 = 0 \implies x_2 = 1$
Ответ: 0; 1.

872. Решите графически уравнение $\frac{12}{x} = x^2$.

Для того чтобы решить уравнение $\frac{12}{x} = x^2$ графически, необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y = f(x)$ и $y = g(x)$, где $f(x) = \frac{12}{x}$ и $g(x) = x^2$. Абсцисса (координата $x$) точки пересечения этих графиков будет являться решением исходного уравнения.

1. Построение графика функции $y = \frac{12}{x}$

Эта функция является обратной пропорциональностью. Ее график — гипербола. Область определения функции — все действительные числа, кроме $x = 0$. Так как коэффициент $12$ положителен, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат ($x=0$ и $y=0$).

Составим таблицу значений для построения графика:

2. Построение графика функции $y = x^2$

Эта функция является квадратичной. Ее график — парабола. Вершина параболы находится в начале координат $(0, 0)$, а ветви направлены вверх.

Составим таблицу значений для построения графика:

3. Нахождение решения

Построим оба графика в одной системе координат. Графики пересекаются в одной точке. Поскольку график $y=x^2$ лежит в верхней полуплоскости ($y \ge 0$), а график $y=\frac{12}{x}$ находится в I и III четвертях, их пересечение возможно только в I четверти, где $x > 0$ и $y > 0$.

Из графиков видно, что точка пересечения имеет абсциссу $x$, которая больше 2, но меньше 3. Например, при $x=2$ парабола имеет значение $y=4$, а гипербола $y=6$. При $x=3$ парабола имеет значение $y=9$, а гипербола $y=4$. Значит, точка пересечения находится между этими значениями $x$.

Для нахождения точного решения преобразуем уравнение (при условии $x \neq 0$):

$\frac{12}{x} = x^2$

$12 = x^2 \cdot x$

$x^3 = 12$

$x = \sqrt[3]{12}$

Поскольку $2^3=8$ и $3^3=27$, то $2 < \sqrt[3]{12} < 3$, что подтверждает оценку, полученную из графика. Единственное действительное решение уравнения — это $x = \sqrt[3]{12}$.

Ответ: $x = \sqrt[3]{12}$.

873. Моторная лодка прошла $30 \text{ км}$ по течению реки и возвратилась обратно, затратив на весь путь $5 \text{ ч } 20 \text{ мин}$. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если известно, что скорость течения реки равна $3 \text{ км/ч}$.

Пусть собственная скорость моторной лодки (скорость в стоячей воде) равна $x$ км/ч.

Скорость течения реки по условию составляет 3 км/ч.

Тогда скорость лодки по течению реки равна $(x + 3)$ км/ч, а скорость лодки против течения реки равна $(x - 3)$ км/ч.

Лодка прошла 30 км по течению и 30 км в обратном направлении. Время, затраченное на путь по течению, можно найти по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.
Время движения по течению: $t_{по} = \frac{30}{x + 3}$ часов.

Время движения против течения: $t_{против} = \frac{30}{x - 3}$ часов.

Общее время, затраченное на весь путь, составляет 5 часов 20 минут. Переведем это время в часы для удобства расчетов:
5 ч 20 мин = $5 + \frac{20}{60}$ ч = $5 + \frac{1}{3}$ ч = $\frac{15}{3} + \frac{1}{3}$ ч = $\frac{16}{3}$ часов.

Составим уравнение, зная, что общее время равно сумме времени движения по течению и против течения:
$\frac{30}{x + 3} + \frac{30}{x - 3} = \frac{16}{3}$

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $(x+3)(x-3)$:
$\frac{30(x - 3) + 30(x + 3)}{(x + 3)(x - 3)} = \frac{16}{3}$
$\frac{30x - 90 + 30x + 90}{x^2 - 9} = \frac{16}{3}$
$\frac{60x}{x^2 - 9} = \frac{16}{3}$

Используя основное свойство пропорции, получим:
$60x \cdot 3 = 16 \cdot (x^2 - 9)$
$180x = 16x^2 - 144$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$16x^2 - 180x - 144 = 0$

Разделим все члены уравнения на 4, чтобы упростить его:
$4x^2 - 45x - 36 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):
$D = (-45)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-36) = 2025 + 576 = 2601$
$\sqrt{D} = \sqrt{2601} = 51$

Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-(-45) + 51}{2 \cdot 4} = \frac{45 + 51}{8} = \frac{96}{8} = 12$
$x_2 = \frac{-(-45) - 51}{2 \cdot 4} = \frac{45 - 51}{8} = \frac{-6}{8} = -0.75$

Скорость не может быть отрицательной величиной, поэтому корень $x_2 = -0.75$ не подходит по смыслу задачи. Кроме того, собственная скорость лодки должна быть больше скорости течения ($x > 3$), чтобы она могла двигаться против течения. Решение $x=12$ удовлетворяет этому условию.
Следовательно, скорость лодки в стоячей воде составляет 12 км/ч.

Ответ: 12 км/ч.