Номер 872, страница 194 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Решение неравенств с одной переменной. § 11. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 872, страница 194.

872. Решите графически уравнение $\frac{12}{x} = x^2$.

Для того чтобы решить уравнение $\frac{12}{x} = x^2$ графически, необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y = f(x)$ и $y = g(x)$, где $f(x) = \frac{12}{x}$ и $g(x) = x^2$. Абсцисса (координата $x$) точки пересечения этих графиков будет являться решением исходного уравнения.

1. Построение графика функции $y = \frac{12}{x}$

Эта функция является обратной пропорциональностью. Ее график — гипербола. Область определения функции — все действительные числа, кроме $x = 0$. Так как коэффициент $12$ положителен, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат ($x=0$ и $y=0$).

Составим таблицу значений для построения графика:

x	-6	-4	-3	-2	-1	1	2	3	4	6
y	-2	-3	-4	-6	-12	12	6	4	3	2

2. Построение графика функции $y = x^2$

Эта функция является квадратичной. Ее график — парабола. Вершина параболы находится в начале координат $(0, 0)$, а ветви направлены вверх.

Составим таблицу значений для построения графика:

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	9	4	1	0	1	4	9

3. Нахождение решения

Построим оба графика в одной системе координат. Графики пересекаются в одной точке. Поскольку график $y=x^2$ лежит в верхней полуплоскости ($y \ge 0$), а график $y=\frac{12}{x}$ находится в I и III четвертях, их пересечение возможно только в I четверти, где $x > 0$ и $y > 0$.

Из графиков видно, что точка пересечения имеет абсциссу $x$, которая больше 2, но меньше 3. Например, при $x=2$ парабола имеет значение $y=4$, а гипербола $y=6$. При $x=3$ парабола имеет значение $y=9$, а гипербола $y=4$. Значит, точка пересечения находится между этими значениями $x$.

Для нахождения точного решения преобразуем уравнение (при условии $x \neq 0$):

$\frac{12}{x} = x^2$

$12 = x^2 \cdot x$

$x^3 = 12$

$x = \sqrt[3]{12}$

Поскольку $2^3=8$ и $3^3=27$, то $2 < \sqrt[3]{12} < 3$, что подтверждает оценку, полученную из графика. Единственное действительное решение уравнения — это $x = \sqrt[3]{12}$.

Ответ: $x = \sqrt[3]{12}$.