Номер 869, страница 194 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Решение неравенств с одной переменной. § 11. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 869, страница 194.

869. Туристы отправились на моторной лодке по течению реки и должны вернуться обратно к стоянке не позднее чем через $3 \text{ ч.}$. На какое расстояние могут отъехать туристы, если скорость течения реки $2 \text{ км/ч}$, а скорость лодки в стоячей воде $18 \text{ км/ч}$?

Пусть $S$ – искомое расстояние в километрах, на которое туристы могут отъехать от стоянки. Согласно условию, нам даны:

• Собственная скорость лодки (в стоячей воде): $v_{л} = 18$ км/ч.
• Скорость течения реки: $v_{т} = 2$ км/ч.
• Максимальное время на всю поездку (туда и обратно): $T = 3$ ч.

Сначала найдем скорость лодки по течению и против течения реки.

1. Скорость лодки по течению ($v_{по}$) равна сумме собственной скорости лодки и скорости течения:

$v_{по} = v_{л} + v_{т} = 18 + 2 = 20$ км/ч.

2. Скорость лодки против течения ($v_{прот}$) равна разности собственной скорости лодки и скорости течения:

$v_{прот} = v_{л} - v_{т} = 18 - 2 = 16$ км/ч.

Теперь выразим время, затраченное на путь в одну сторону и обратно. Время ($t$) вычисляется по формуле $t = \frac{\text{расстояние}}{\text{скорость}}$.

Время, затраченное на путь по течению на расстояние $S$, составляет:

$t_{по} = \frac{S}{v_{по}} = \frac{S}{20}$ ч.

Время, затраченное на обратный путь (против течения) на то же расстояние $S$, составляет:

$t_{прот} = \frac{S}{v_{прот}} = \frac{S}{16}$ ч.

Общее время, затраченное на всю поездку, является суммой времени движения по течению и против течения. По условию, это время не должно превышать 3 часов.

$t_{по} + t_{прот} \le 3$

Составим и решим неравенство:

$\frac{S}{20} + \frac{S}{16} \le 3$

Для решения этого неравенства приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 20 и 16 равно 80.

$\frac{4 \cdot S}{4 \cdot 20} + \frac{5 \cdot S}{5 \cdot 16} \le 3$

$\frac{4S}{80} + \frac{5S}{80} \le 3$

$\frac{4S + 5S}{80} \le 3$

$\frac{9S}{80} \le 3$

Чтобы найти $S$, умножим обе части неравенства на 80, а затем разделим на 9:

$9S \le 3 \cdot 80$

$9S \le 240$

$S \le \frac{240}{9}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$S \le \frac{80}{3}$

Представим результат в виде смешанного числа:

$S \le 26 \frac{2}{3}$

Это означает, что туристы могут отъехать на расстояние, не превышающее $26 \frac{2}{3}$ км.

Ответ: Туристы могут отъехать на расстояние не более $26 \frac{2}{3}$ км.