Номер 870, страница 194 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Решение неравенств с одной переменной. § 11. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 870, страница 194.

870. Найдите значение дроби $\frac{x^2+x-5}{x-1}$ при $x = 1 - \sqrt{3}$.

Чтобы найти значение дроби $\frac{x^2+x-5}{x-1}$ при $x = 1 - \sqrt{3}$, необходимо подставить данное значение $x$ в выражение и выполнить вычисления.

Способ 1: Прямая подстановка

Сначала вычислим значение знаменателя дроби:

$x - 1 = (1 - \sqrt{3}) - 1 = -\sqrt{3}$.

Далее вычислим значение числителя $x^2+x-5$. Для этого по частям найдем значение каждого слагаемого.

Возведем $x$ в квадрат:

$x^2 = (1 - \sqrt{3})^2$.

Используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, получаем:

$x^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 1 - 2\sqrt{3} + 3 = 4 - 2\sqrt{3}$.

Теперь подставим все значения в выражение числителя:

$x^2 + x - 5 = (4 - 2\sqrt{3}) + (1 - \sqrt{3}) - 5$.

Сгруппируем и упростим, складывая отдельно целые числа и отдельно слагаемые с корнем:

$(4 + 1 - 5) + (-2\sqrt{3} - \sqrt{3}) = 0 - 3\sqrt{3} = -3\sqrt{3}$.

Теперь, имея значения числителя и знаменателя, найдем значение всей дроби:

$\frac{x^2+x-5}{x-1} = \frac{-3\sqrt{3}}{-\sqrt{3}}$.

Сокращаем в числителе и знаменателе общий множитель $-\sqrt{3}$:

$\frac{-3\sqrt{3}}{-\sqrt{3}} = 3$.

Способ 2: Предварительное упрощение дроби

Задачу можно решить и другим способом, предварительно упростив алгебраическую дробь. Выделим целую часть дроби, разделив многочлен в числителе на многочлен в знаменателе. Для этого преобразуем числитель:

$x^2+x-5 = x^2-x+2x-5 = x(x-1)+2x-2-3 = x(x-1)+2(x-1)-3 = (x-1)(x+2)-3$.

Теперь подставим это выражение в числитель дроби и разделим почленно:

$\frac{(x-1)(x+2)-3}{x-1} = \frac{(x-1)(x+2)}{x-1} - \frac{3}{x-1} = x+2 - \frac{3}{x-1}$.

Теперь подставим значение $x = 1 - \sqrt{3}$ в упрощенное выражение:

$x+2 - \frac{3}{x-1} = (1 - \sqrt{3}) + 2 - \frac{3}{(1 - \sqrt{3}) - 1} = 3 - \sqrt{3} - \frac{3}{-\sqrt{3}} = 3 - \sqrt{3} + \frac{3}{\sqrt{3}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе последнего слагаемого, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$\frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$.

Тогда выражение принимает вид:

$3 - \sqrt{3} + \sqrt{3} = 3$.

Оба способа решения дают одинаковый результат.

Ответ: $3$