Номер 871, страница 194 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Решение неравенств с одной переменной. § 11. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 871, страница 194.

871. Решите уравнение:

а) $ \frac{x^2 - 4}{6} - \frac{x}{2} = \frac{x - 4}{3}; $

б) $ \frac{2x^2 - 1}{2} - x + \frac{1}{2} = 0. $

а) Решим уравнение $ \frac{x^2 - 4}{6} - \frac{x}{2} = \frac{x - 4}{3} $.
Для того чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, который для чисел 6, 2 и 3 равен 6. $$ 6 \cdot \frac{x^2 - 4}{6} - 6 \cdot \frac{x}{2} = 6 \cdot \frac{x - 4}{3} $$ $$ (x^2 - 4) - 3x = 2(x - 4) $$ Теперь раскроем скобки и упростим выражение: $$ x^2 - 4 - 3x = 2x - 8 $$ Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы привести его к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$. $$ x^2 - 3x - 2x - 4 + 8 = 0 $$ $$ x^2 - 5x + 4 = 0 $$ Полученное квадратное уравнение можно решить через дискриминант. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$: $$ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 $$ Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$ x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4 $$ $$ x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 $$
Ответ: 1; 4.

б) Решим уравнение $ \frac{2x^2 - 1}{2} - x + \frac{1}{2} = 0 $.
Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателей: $$ 2 \cdot \left( \frac{2x^2 - 1}{2} - x + \frac{1}{2} \right) = 2 \cdot 0 $$ $$ (2x^2 - 1) - 2x + 1 = 0 $$ Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $$ 2x^2 - 1 - 2x + 1 = 0 $$ $$ 2x^2 - 2x = 0 $$ Это неполное квадратное уравнение. Для его решения вынесем общий множитель $2x$ за скобки: $$ 2x(x - 1) = 0 $$ Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:
1) $2x = 0 \implies x_1 = 0$
2) $x - 1 = 0 \implies x_2 = 1$
Ответ: 0; 1.