Номер 864, страница 193 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Решение неравенств с одной переменной. § 11. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 864, страница 193.

864. Найдите множество значений $k$, при которых уравнение $(k - 4)x^2 + 16x - 24 = 0$ имеет два корня.

Данное уравнение $(k-4)x^2 + 16x - 24 = 0$ является уравнением с параметром $k$. Чтобы оно имело два корня, необходимо рассмотреть два возможных случая в зависимости от коэффициента при $x^2$.

1. Случай, когда уравнение является линейным. Это происходит, если коэффициент при $x^2$ равен нулю:

$k-4 = 0 \implies k = 4$.

Подставим это значение $k$ в исходное уравнение:

$(4-4)x^2 + 16x - 24 = 0$

$0 \cdot x^2 + 16x - 24 = 0$

$16x - 24 = 0$

$16x = 24$

$x = \frac{24}{16} = \frac{3}{2}$

При $k=4$ уравнение имеет только один корень, что не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, $k \neq 4$.

2. Случай, когда уравнение является квадратным. Это выполняется при условии, что коэффициент при $x^2$ не равен нулю, то есть $k-4 \neq 0$.

Квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет два различных корня тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ строго больше нуля ($D > 0$).

Для нашего уравнения коэффициенты равны: $a = k-4$, $b = 16$, $c = -24$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 16^2 - 4(k-4)(-24) = 256 + 96(k-4)$

$D = 256 + 96k - 384$

$D = 96k - 128$

Теперь решим неравенство $D > 0$:

$96k - 128 > 0$

$96k > 128$

$k > \frac{128}{96}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 32:

$k > \frac{128 \div 32}{96 \div 32} = \frac{4}{3}$

Итак, для того чтобы уравнение имело два корня, необходимо, чтобы одновременно выполнялись два условия: $k > \frac{4}{3}$ и $k \neq 4$.

Объединяя эти два условия, мы получаем множество всех чисел, которые больше $\frac{4}{3}$, за исключением числа 4. Это множество можно записать в виде объединения двух интервалов.

Ответ: $k \in (\frac{4}{3}; 4) \cup (4; +\infty)$.