Номер 859, страница 193 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Решение неравенств с одной переменной. § 11. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 859, страница 193.

859. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

а) $ \sqrt{2x - 4} $;

б) $ \sqrt{4 - 6a} $;

в) $ \sqrt{\frac{1 + 3a}{25}} $;

г) $ \sqrt{\frac{7 - 5a}{8}} $;

д) $ \sqrt{-3(1 - 5x)} $;

е) $ \sqrt{-(6 - x)} $?

Арифметический квадратный корень $\sqrt{A}$ определён (имеет смысл) только для неотрицательных значений подкоренного выражения $A$. Следовательно, для каждого случая необходимо решить неравенство $A \ge 0$.

а) Для выражения $\sqrt{2x - 4}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Составим и решим неравенство:
$2x - 4 \ge 0$
$2x \ge 4$
$x \ge 2$

Ответ: $x \ge 2$.

б) Для выражения $\sqrt{4 - 6a}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Решим неравенство:
$4 - 6a \ge 0$
$-6a \ge -4$
При делении обеих частей неравенства на отрицательное число $-6$ знак неравенства меняется на противоположный:
$a \le \frac{-4}{-6}$
$a \le \frac{2}{3}$

Ответ: $a \le \frac{2}{3}$.

в) Для выражения $\sqrt{\frac{1 + 3a}{25}}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$\frac{1 + 3a}{25} \ge 0$
Поскольку знаменатель $25$ — положительное число, знак дроби зависит только от знака числителя. Таким образом, неравенство равносильно следующему:
$1 + 3a \ge 0$
$3a \ge -1$
$a \ge -\frac{1}{3}$

Ответ: $a \ge -\frac{1}{3}$.

г) Для выражения $\sqrt{\frac{7 - 5a}{8}}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$\frac{7 - 5a}{8} \ge 0$
Так как знаменатель $8$ положителен, числитель также должен быть неотрицателен:
$7 - 5a \ge 0$
$7 \ge 5a$
$a \le \frac{7}{5}$

Ответ: $a \le \frac{7}{5}$.

д) Для выражения $\sqrt{-3(1 - 5x)}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$-3(1 - 5x) \ge 0$
Разделим обе части неравенства на $-3$ и изменим знак неравенства на противоположный:
$1 - 5x \le 0$
$1 \le 5x$
$x \ge \frac{1}{5}$

Ответ: $x \ge \frac{1}{5}$.

е) Для выражения $\sqrt{-(6 - x)}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$-(6 - x) \ge 0$
Раскроем скобки или умножим обе части на $-1$, изменив знак неравенства:
$x - 6 \ge 0$
$x \ge 6$

Ответ: $x \ge 6$.