Номер 856, страница 192 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Решение неравенств с одной переменной. § 11. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 856, страница 192.

856. a) При каких значениях $a$ сумма дробей $\frac{2a-1}{4}$ и $\frac{a-1}{3}$ положительна?

б) При каких значениях $b$ разность дробей $\frac{3b-1}{2}$ и $\frac{1+5b}{4}$ отрицательна?

а) Для того чтобы найти значения a, при которых сумма дробей $\frac{2a-1}{4}$ и $\frac{a-1}{3}$ положительна, необходимо решить неравенство:
$\frac{2a-1}{4} + \frac{a-1}{3} > 0$
Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 3 это 12. Домножим первую дробь на 3, а вторую на 4:
$\frac{3(2a-1)}{12} + \frac{4(a-1)}{12} > 0$
Теперь можно записать сумму под общим знаменателем:
$\frac{3(2a-1) + 4(a-1)}{12} > 0$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{6a - 3 + 4a - 4}{12} > 0$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{10a - 7}{12} > 0$
Знаменатель дроби (12) — положительное число. Следовательно, чтобы дробь была положительной, ее числитель также должен быть положительным:
$10a - 7 > 0$
Перенесем -7 в правую часть неравенства, изменив знак:
$10a > 7$
Разделим обе части на 10:
$a > \frac{7}{10}$
Или в десятичной форме:
$a > 0.7$
Ответ: $a > 0.7$.

б) Для того чтобы найти значения b, при которых разность дробей $\frac{3b-1}{2}$ и $\frac{1+5b}{4}$ отрицательна, необходимо решить неравенство:
$\frac{3b-1}{2} - \frac{1+5b}{4} < 0$
Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 2 и 4 это 4. Домножим первую дробь на 2:
$\frac{2(3b-1)}{4} - \frac{1+5b}{4} < 0$
Запишем разность под общим знаменателем. Важно не забыть, что минус перед второй дробью относится ко всему ее числителю:
$\frac{2(3b-1) - (1+5b)}{4} < 0$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{6b - 2 - 1 - 5b}{4} < 0$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{b - 3}{4} < 0$
Знаменатель дроби (4) — положительное число. Следовательно, чтобы дробь была отрицательной, ее числитель должен быть отрицательным:
$b - 3 < 0$
Перенесем -3 в правую часть неравенства, изменив знак:
$b < 3$
Ответ: $b < 3$.