Номер 860, страница 193 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Решение неравенств с одной переменной. § 11. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 860, страница 193.

860. Найдите область определения функции:

а) $y = \frac{\sqrt{7-14x}}{x+8}$

б) $y = \frac{6}{\sqrt{4-x-1}}$

а) $y = \frac{\sqrt{7 - 14x}}{x + 8}$

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Для данной функции необходимо выполнить два условия:

1. Подкоренное выражение в числителе должно быть неотрицательным, так как квадратный корень из отрицательного числа не определён в множестве действительных чисел.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя.

Составим систему неравенств, исходя из этих условий:

$ \begin{cases} 7 - 14x \ge 0 \\ x + 8 \ne 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$7 - 14x \ge 0$

$-14x \ge -7$

При делении на отрицательное число (-14) знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le \frac{-7}{-14}$

$x \le \frac{1}{2}$

Решим второе условие:

$x + 8 \ne 0$

$x \ne -8$

Теперь необходимо совместить оба условия. Областью определения будут все числа $x$, которые меньше или равны $\frac{1}{2}$, за исключением числа -8.

В виде интервала это записывается как объединение двух промежутков.

Ответ: $(-\infty; -8) \cup (-8; \frac{1}{2}]$.

---

б) $y = \frac{6}{\sqrt{4 - x} - 1}$

Для нахождения области определения данной функции необходимо учесть следующие ограничения:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.
2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю.

Запишем эти условия в виде системы:

$ \begin{cases} 4 - x \ge 0 \\ \sqrt{4 - x} - 1 \ne 0 \end{cases} $

Рассмотрим первое неравенство:

$4 - x \ge 0$

$-x \ge -4$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x \le 4$

Рассмотрим второе условие:

$\sqrt{4 - x} - 1 \ne 0$

$\sqrt{4 - x} \ne 1$

Возведем обе части неравенства в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(\sqrt{4 - x})^2 \ne 1^2$

$4 - x \ne 1$

$-x \ne 1 - 4$

$-x \ne -3$

$x \ne 3$

Объединяем полученные результаты. Область определения функции — это все числа $x$, которые удовлетворяют условию $x \le 4$, но при этом не равны 3.

Это соответствует объединению двух промежутков.

Ответ: $(-\infty; 3) \cup (3; 4]$.