Номер 854, страница 192 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Решение неравенств с одной переменной. § 11. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 854, страница 192.

854. Решите неравенство:

a) $ \frac{3+x}{4} + \frac{2-x}{3} < 0; $

б) $ \frac{4-y}{5} - 5y \ge 0; $

в) $ y - \frac{2y-1}{4} \ge 1; $

г) $ x - \frac{x-3}{5} + \frac{2x-1}{10} \le 4; $

д) $ \frac{y-1}{2} - 1 + \frac{2y-1}{6} > y; $

е) $ p - \frac{p-1}{2} - \frac{p+3}{4} > 2. $

а)

Дано неравенство $\frac{3+x}{4} + \frac{2-x}{3} < 0$.

Чтобы избавиться от дробей, приведем левую часть к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 3 равен 12.

Умножим обе части неравенства на 12. Так как 12 является положительным числом, знак неравенства не изменится.

$12 \cdot \left(\frac{3+x}{4} + \frac{2-x}{3}\right) < 12 \cdot 0$

$3(3+x) + 4(2-x) < 0$

Раскроем скобки:

$9 + 3x + 8 - 4x < 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(9+8) + (3x-4x) < 0$

$17 - x < 0$

Перенесем $x$ в правую часть:

$17 < x$

Ответ: $x \in (17; +\infty)$.

б)

Дано неравенство $\frac{4-y}{5} - 5y \ge 0$.

Умножим обе части неравенства на 5, чтобы избавиться от знаменателя. Знак неравенства при умножении на положительное число не меняется.

$5 \cdot \left(\frac{4-y}{5} - 5y\right) \ge 5 \cdot 0$

$4-y - 25y \ge 0$

Приведем подобные слагаемые:

$4 - 26y \ge 0$

Перенесем $26y$ в правую часть:

$4 \ge 26y$

Разделим обе части на 26:

$\frac{4}{26} \ge y$

Сократим дробь:

$y \le \frac{2}{13}$

Ответ: $y \in (-\infty; \frac{2}{13}]$.

в)

Дано неравенство $y - \frac{2y-1}{4} \ge 1$.

Умножим обе части неравенства на 4:

$4 \cdot y - 4 \cdot \frac{2y-1}{4} \ge 4 \cdot 1$

$4y - (2y-1) \ge 4$

Раскроем скобки. Так как перед скобкой стоит знак "минус", знаки слагаемых в скобках меняются на противоположные.

$4y - 2y + 1 \ge 4$

Приведем подобные слагаемые:

$2y + 1 \ge 4$

Перенесем 1 в правую часть с противоположным знаком:

$2y \ge 4 - 1$

$2y \ge 3$

Разделим обе части на 2:

$y \ge \frac{3}{2}$

Ответ: $y \in [\frac{3}{2}; +\infty)$.

г)

Дано неравенство $x - \frac{x-3}{5} + \frac{2x-1}{10} \le 4$.

Наименьший общий знаменатель для 5 и 10 равен 10. Умножим обе части неравенства на 10.

$10 \cdot x - 10 \cdot \frac{x-3}{5} + 10 \cdot \frac{2x-1}{10} \le 10 \cdot 4$

$10x - 2(x-3) + (2x-1) \le 40$

Раскроем скобки:

$10x - 2x + 6 + 2x - 1 \le 40$

Приведем подобные слагаемые:

$(10x - 2x + 2x) + (6-1) \le 40$

$10x + 5 \le 40$

Перенесем 5 в правую часть:

$10x \le 40 - 5$

$10x \le 35$

Разделим обе части на 10:

$x \le \frac{35}{10}$

$x \le 3.5$

Ответ: $x \in (-\infty; 3.5]$.

д)

Дано неравенство $\frac{y-1}{2} - 1 + \frac{2y-1}{6} > y$.

Наименьший общий знаменатель для 2 и 6 равен 6. Умножим все члены неравенства на 6.

$6 \cdot \frac{y-1}{2} - 6 \cdot 1 + 6 \cdot \frac{2y-1}{6} > 6 \cdot y$

$3(y-1) - 6 + (2y-1) > 6y$

Раскроем скобки:

$3y - 3 - 6 + 2y - 1 > 6y$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(3y+2y) + (-3-6-1) > 6y$

$5y - 10 > 6y$

Перенесем слагаемые с переменной $y$ в правую часть, а числа оставим в левой:

$-10 > 6y - 5y$

$-10 > y$

Запишем в более привычном виде:

$y < -10$

Ответ: $y \in (-\infty; -10)$.

е)

Дано неравенство $p - \frac{p-1}{2} - \frac{p+3}{4} > 2$.

Наименьший общий знаменатель для 2 и 4 равен 4. Умножим обе части неравенства на 4.

$4 \cdot p - 4 \cdot \frac{p-1}{2} - 4 \cdot \frac{p+3}{4} > 4 \cdot 2$

$4p - 2(p-1) - (p+3) > 8$

Раскроем скобки, внимательно следя за знаками:

$4p - 2p + 2 - p - 3 > 8$

Приведем подобные слагаемые:

$(4p-2p-p) + (2-3) > 8$

$p - 1 > 8$

Перенесем -1 в правую часть:

$p > 8+1$

$p > 9$

Ответ: $p \in (9; +\infty)$.