Номер 855, страница 192 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Решение неравенств с одной переменной. § 11. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 855, страница 192.

855. Решите неравенство:

а) $\frac{2a - 1}{2} - \frac{3a - 3}{5} > a;$

б) $x - \frac{2x + 3}{2} \le \frac{x - 1}{4};$

в) $\frac{5x - 1}{5} + \frac{x + 1}{2} \le x;$

г) $\frac{y - 1}{2} - \frac{2y + 3}{8} - y > 2.$

а) Решим неравенство $\frac{2a - 1}{2} - \frac{3a - 3}{5} > a$.

Для того чтобы избавиться от дробных коэффициентов, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 2 и 5, которое равно 10. Так как 10 — положительное число, знак неравенства сохранится.

$10 \cdot \left(\frac{2a - 1}{2} - \frac{3a - 3}{5}\right) > 10 \cdot a$

$10 \cdot \frac{2a - 1}{2} - 10 \cdot \frac{3a - 3}{5} > 10a$

$5(2a - 1) - 2(3a - 3) > 10a$

Раскроем скобки в левой части неравенства:

$10a - 5 - 6a + 6 > 10a$

Приведем подобные слагаемые:

$(10a - 6a) + (-5 + 6) > 10a$

$4a + 1 > 10a$

Перенесем все слагаемые с переменной $a$ в правую часть, а свободные члены оставим в левой:

$1 > 10a - 4a$

$1 > 6a$

Разделим обе части неравенства на 6. Знак неравенства не изменится.

$\frac{1}{6} > a$, что эквивалентно $a < \frac{1}{6}$.

Таким образом, решением является интервал $(-\infty; \frac{1}{6})$.

Ответ: $a \in (-\infty; \frac{1}{6})$.

б) Решим неравенство $x - \frac{2x + 3}{2} \le \frac{x - 1}{4}$.

Умножим обе части неравенства на НОК знаменателей 2 и 4, то есть на 4. Знак неравенства не изменится.

$4 \cdot x - 4 \cdot \frac{2x + 3}{2} \le 4 \cdot \frac{x - 1}{4}$

$4x - 2(2x + 3) \le x - 1$

Раскроем скобки:

$4x - 4x - 6 \le x - 1$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-6 \le x - 1$

Перенесем свободные члены в левую часть, чтобы изолировать $x$:

$-6 + 1 \le x$

$-5 \le x$

Решением является числовой промежуток $[-5; +\infty)$.

Ответ: $x \in [-5; +\infty)$.

в) Решим неравенство $\frac{5x - 1}{5} + \frac{x + 1}{2} \le x$.

Умножим обе части неравенства на НОК знаменателей 5 и 2, то есть на 10.

$10 \cdot \left(\frac{5x - 1}{5} + \frac{x + 1}{2}\right) \le 10 \cdot x$

$2(5x - 1) + 5(x + 1) \le 10x$

Раскроем скобки:

$10x - 2 + 5x + 5 \le 10x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$15x + 3 \le 10x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$15x - 10x \le -3$

$5x \le -3$

Разделим обе части на 5:

$x \le -\frac{3}{5}$

Решением является числовой промежуток $(-\infty; -0.6]$.

Ответ: $x \in (-\infty; -0.6]$.

г) Решим неравенство $\frac{y - 1}{2} - \frac{2y + 3}{8} - y > 2$.

Умножим обе части неравенства на НОК знаменателей 2 и 8, то есть на 8.

$8 \cdot \left(\frac{y - 1}{2} - \frac{2y + 3}{8} - y\right) > 8 \cdot 2$

$4(y - 1) - 1(2y + 3) - 8y > 16$

Раскроем скобки:

$4y - 4 - 2y - 3 - 8y > 16$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(4y - 2y - 8y) + (-4 - 3) > 16$

$-6y - 7 > 16$

Перенесем свободный член -7 в правую часть:

$-6y > 16 + 7$

$-6y > 23$

Разделим обе части на -6. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства необходимо изменить на противоположный (с ">" на "<"):

$y < \frac{23}{-6}$

$y < -\frac{23}{6}$

Решением является интервал $(-\infty; -\frac{23}{6})$.

Ответ: $y \in (-\infty; -\frac{23}{6})$.