Номер 857, страница 193 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Решение неравенств с одной переменной. § 11. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 857, страница 193.

857. Решите неравенство:

a) $31(2x + 1) - 12x > 50x;$

б) $x + 4 - \frac{x}{3} < \frac{2x}{3};$

в) $3x + 7 > 5(x + 2) - (2x + 1);$

г) $\frac{12x - 1}{3} < 4x - 3.$

а) $31(2x + 1) - 12x > 50x$

Сначала раскроем скобки в левой части неравенства:

$31 \cdot 2x + 31 \cdot 1 - 12x > 50x$

$62x + 31 - 12x > 50x$

Теперь приведем подобные слагаемые в левой части:

$(62x - 12x) + 31 > 50x$

$50x + 31 > 50x$

Перенесем слагаемое $50x$ из левой части в правую, изменив его знак:

$31 > 50x - 50x$

$31 > 0$

Мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от переменной $x$. Это означает, что исходное неравенство верно при любом действительном значении $x$.

Ответ: $x$ - любое число, или $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) $x + 4 - \frac{x}{3} < \frac{2x}{3}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на общий знаменатель, равный 3. Так как 3 - положительное число, знак неравенства не изменится.

$3 \cdot (x + 4 - \frac{x}{3}) < 3 \cdot \frac{2x}{3}$

$3x + 12 - x < 2x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$2x + 12 < 2x$

Перенесем слагаемое $2x$ из левой части в правую:

$12 < 2x - 2x$

$12 < 0$

Мы получили неверное числовое неравенство. Это означает, что не существует таких значений $x$, при которых исходное неравенство было бы верным.

Ответ: нет решений.

в) $3x + 7 > 5(x + 2) - (2x + 1)$

Раскроем скобки в правой части неравенства. Обратим внимание на знак минус перед второй скобкой.

$3x + 7 > 5x + 10 - 2x - 1$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$3x + 7 > (5x - 2x) + (10 - 1)$

$3x + 7 > 3x + 9$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены - в правую:

$3x - 3x > 9 - 7$

$0 > 2$

Мы получили неверное числовое неравенство. Следовательно, исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: нет решений.

г) $\frac{12x - 1}{3} < 4x - 3$

Умножим обе части неравенства на 3, чтобы избавиться от знаменателя. Знак неравенства при этом не меняется.

$3 \cdot \frac{12x - 1}{3} < 3 \cdot (4x - 3)$

$12x - 1 < 12x - 9$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены - в правую:

$12x - 12x < -9 + 1$

$0 < -8$

Мы получили неверное числовое неравенство. Это означает, что исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: нет решений.