Страница 193 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

857. Решите неравенство:

a) $31(2x + 1) - 12x > 50x;$

б) $x + 4 - \frac{x}{3} < \frac{2x}{3};$

в) $3x + 7 > 5(x + 2) - (2x + 1);$

г) $\frac{12x - 1}{3} < 4x - 3.$

а) $31(2x + 1) - 12x > 50x$

Сначала раскроем скобки в левой части неравенства:

$31 \cdot 2x + 31 \cdot 1 - 12x > 50x$

$62x + 31 - 12x > 50x$

Теперь приведем подобные слагаемые в левой части:

$(62x - 12x) + 31 > 50x$

$50x + 31 > 50x$

Перенесем слагаемое $50x$ из левой части в правую, изменив его знак:

$31 > 50x - 50x$

$31 > 0$

Мы получили верное числовое неравенство, которое не зависит от переменной $x$. Это означает, что исходное неравенство верно при любом действительном значении $x$.

Ответ: $x$ - любое число, или $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) $x + 4 - \frac{x}{3} < \frac{2x}{3}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на общий знаменатель, равный 3. Так как 3 - положительное число, знак неравенства не изменится.

$3 \cdot (x + 4 - \frac{x}{3}) < 3 \cdot \frac{2x}{3}$

$3x + 12 - x < 2x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$2x + 12 < 2x$

Перенесем слагаемое $2x$ из левой части в правую:

$12 < 2x - 2x$

$12 < 0$

Мы получили неверное числовое неравенство. Это означает, что не существует таких значений $x$, при которых исходное неравенство было бы верным.

Ответ: нет решений.

в) $3x + 7 > 5(x + 2) - (2x + 1)$

Раскроем скобки в правой части неравенства. Обратим внимание на знак минус перед второй скобкой.

$3x + 7 > 5x + 10 - 2x - 1$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$3x + 7 > (5x - 2x) + (10 - 1)$

$3x + 7 > 3x + 9$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены - в правую:

$3x - 3x > 9 - 7$

$0 > 2$

Мы получили неверное числовое неравенство. Следовательно, исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: нет решений.

г) $\frac{12x - 1}{3} < 4x - 3$

Умножим обе части неравенства на 3, чтобы избавиться от знаменателя. Знак неравенства при этом не меняется.

$3 \cdot \frac{12x - 1}{3} < 3 \cdot (4x - 3)$

$12x - 1 < 12x - 9$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены - в правую:

$12x - 12x < -9 + 1$

$0 < -8$

Мы получили неверное числовое неравенство. Это означает, что исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: нет решений.

858. При каких значениях $x$ функция, заданная формулой $y = 2x + 13$, принимает положительные значения? отрицательные значения?

Положительные значения

Функция $y = 2x + 13$ принимает положительные значения, когда значение $y$ больше нуля. Для нахождения соответствующих значений $x$ решим неравенство $y > 0$:

$2x + 13 > 0$

Перенесем 13 в правую часть неравенства, изменив знак на противоположный:

$2x > -13$

Разделим обе части неравенства на 2:

$x > -\frac{13}{2}$

$x > -6,5$

Следовательно, функция принимает положительные значения при всех $x$, которые больше $-6,5$.
Ответ: при $x > -6,5$.

Отрицательные значения

Функция $y = 2x + 13$ принимает отрицательные значения, когда значение $y$ меньше нуля. Для нахождения соответствующих значений $x$ решим неравенство $y < 0$:

$2x + 13 < 0$

Перенесем 13 в правую часть неравенства, изменив знак на противоположный:

$2x < -13$

Разделим обе части неравенства на 2:

$x < -\frac{13}{2}$

$x < -6,5$

Следовательно, функция принимает отрицательные значения при всех $x$, которые меньше $-6,5$.
Ответ: при $x < -6,5$.

859. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

а) $ \sqrt{2x - 4} $;

б) $ \sqrt{4 - 6a} $;

в) $ \sqrt{\frac{1 + 3a}{25}} $;

г) $ \sqrt{\frac{7 - 5a}{8}} $;

д) $ \sqrt{-3(1 - 5x)} $;

е) $ \sqrt{-(6 - x)} $?

Арифметический квадратный корень $\sqrt{A}$ определён (имеет смысл) только для неотрицательных значений подкоренного выражения $A$. Следовательно, для каждого случая необходимо решить неравенство $A \ge 0$.

а) Для выражения $\sqrt{2x - 4}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Составим и решим неравенство:
$2x - 4 \ge 0$
$2x \ge 4$
$x \ge 2$

Ответ: $x \ge 2$.

б) Для выражения $\sqrt{4 - 6a}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Решим неравенство:
$4 - 6a \ge 0$
$-6a \ge -4$
При делении обеих частей неравенства на отрицательное число $-6$ знак неравенства меняется на противоположный:
$a \le \frac{-4}{-6}$
$a \le \frac{2}{3}$

Ответ: $a \le \frac{2}{3}$.

в) Для выражения $\sqrt{\frac{1 + 3a}{25}}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$\frac{1 + 3a}{25} \ge 0$
Поскольку знаменатель $25$ — положительное число, знак дроби зависит только от знака числителя. Таким образом, неравенство равносильно следующему:
$1 + 3a \ge 0$
$3a \ge -1$
$a \ge -\frac{1}{3}$

Ответ: $a \ge -\frac{1}{3}$.

г) Для выражения $\sqrt{\frac{7 - 5a}{8}}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$\frac{7 - 5a}{8} \ge 0$
Так как знаменатель $8$ положителен, числитель также должен быть неотрицателен:
$7 - 5a \ge 0$
$7 \ge 5a$
$a \le \frac{7}{5}$

Ответ: $a \le \frac{7}{5}$.

д) Для выражения $\sqrt{-3(1 - 5x)}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$-3(1 - 5x) \ge 0$
Разделим обе части неравенства на $-3$ и изменим знак неравенства на противоположный:
$1 - 5x \le 0$
$1 \le 5x$
$x \ge \frac{1}{5}$

Ответ: $x \ge \frac{1}{5}$.

е) Для выражения $\sqrt{-(6 - x)}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$-(6 - x) \ge 0$
Раскроем скобки или умножим обе части на $-1$, изменив знак неравенства:
$x - 6 \ge 0$
$x \ge 6$

Ответ: $x \ge 6$.

860. Найдите область определения функции:

а) $y = \frac{\sqrt{7-14x}}{x+8}$

б) $y = \frac{6}{\sqrt{4-x-1}}$

а) $y = \frac{\sqrt{7 - 14x}}{x + 8}$

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Для данной функции необходимо выполнить два условия:

1. Подкоренное выражение в числителе должно быть неотрицательным, так как квадратный корень из отрицательного числа не определён в множестве действительных чисел.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя.

Составим систему неравенств, исходя из этих условий:

$ \begin{cases} 7 - 14x \ge 0 \\ x + 8 \ne 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$7 - 14x \ge 0$

$-14x \ge -7$

При делении на отрицательное число (-14) знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le \frac{-7}{-14}$

$x \le \frac{1}{2}$

Решим второе условие:

$x + 8 \ne 0$

$x \ne -8$

Теперь необходимо совместить оба условия. Областью определения будут все числа $x$, которые меньше или равны $\frac{1}{2}$, за исключением числа -8.

В виде интервала это записывается как объединение двух промежутков.

Ответ: $(-\infty; -8) \cup (-8; \frac{1}{2}]$.

б) $y = \frac{6}{\sqrt{4 - x} - 1}$

Для нахождения области определения данной функции необходимо учесть следующие ограничения:

1. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.
2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю.

Запишем эти условия в виде системы:

$ \begin{cases} 4 - x \ge 0 \\ \sqrt{4 - x} - 1 \ne 0 \end{cases} $

Рассмотрим первое неравенство:

$4 - x \ge 0$

$-x \ge -4$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x \le 4$

Рассмотрим второе условие:

$\sqrt{4 - x} - 1 \ne 0$

$\sqrt{4 - x} \ne 1$

Возведем обе части неравенства в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(\sqrt{4 - x})^2 \ne 1^2$

$4 - x \ne 1$

$-x \ne 1 - 4$

$-x \ne -3$

$x \ne 3$

Объединяем полученные результаты. Область определения функции — это все числа $x$, которые удовлетворяют условию $x \le 4$, но при этом не равны 3.

Это соответствует объединению двух промежутков.

Ответ: $(-\infty; 3) \cup (3; 4]$.

861. Найдите:

а) наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству

$1,6 - (3 - 2y) < 5$;

б) наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству

$8(6 - y) < 24,2 - 7y$.

а) Чтобы найти наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству, сначала решим это неравенство относительно переменной $y$.

Исходное неравенство:

$1,6 - (3 - 2y) < 5$

Раскроем скобки. Так как перед скобками стоит знак минус, знаки слагаемых внутри скобок изменятся на противоположные:

$1,6 - 3 + 2y < 5$

Приведем подобные слагаемые в левой части неравенства:

$-1,4 + 2y < 5$

Перенесем слагаемое $-1,4$ в правую часть неравенства, изменив его знак:

$2y < 5 + 1,4$

$2y < 6,4$

Разделим обе части неравенства на 2 (так как $2 > 0$, знак неравенства не меняется):

$y < \frac{6,4}{2}$

$y < 3,2$

Мы ищем наибольшее целое число, которое меньше 3,2. Целые числа, удовлетворяющие этому условию: ..., 1, 2, 3. Наибольшим из них является число 3.

Ответ: 3

б) Чтобы найти наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству, решим это неравенство относительно переменной $y$.

Исходное неравенство:

$8(6 - y) < 24,2 - 7y$

Раскроем скобки в левой части неравенства:

$8 \cdot 6 - 8 \cdot y < 24,2 - 7y$

$48 - 8y < 24,2 - 7y$

Сгруппируем слагаемые с переменной $y$ в одной части неравенства, а свободные члены — в другой. Перенесем $-8y$ вправо, а $24,2$ влево, изменив их знаки:

$48 - 24,2 < -7y + 8y$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

$23,8 < y$

Это неравенство можно записать как $y > 23,8$.

Мы ищем наименьшее целое число, которое больше 23,8. Целые числа, удовлетворяющие этому условию: 24, 25, 26, ... Наименьшим из них является число 24.

Ответ: 24

862. При каких натуральных значениях n:

а) разность $(2 - 2n) - (5n - 27)$ положительна;

б) сумма $(-27,1 + 3n) + (7,1 + 5n)$ отрицательна?

а) разность $(2 - 2n) - (5n - 27)$ положительна

Для того чтобы разность была положительной, она должна быть больше нуля. Составим и решим неравенство:

$(2 - 2n) - (5n - 27) > 0$

Сначала раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, знаки всех слагаемых внутри нее меняются на противоположные.

$2 - 2n - 5n + 27 > 0$

Теперь приведем подобные слагаемые: сгруппируем числа и слагаемые с переменной $n$.

$(2 + 27) + (-2n - 5n) > 0$

$29 - 7n > 0$

Перенесем слагаемое, содержащее $n$, в правую часть неравенства, изменив его знак:

$29 > 7n$

Чтобы найти $n$, разделим обе части неравенства на 7. Так как 7 — положительное число, знак неравенства не изменится.

$\frac{29}{7} > n$

Это то же самое, что и $n < \frac{29}{7}$.

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число, чтобы было легче определить натуральные значения $n$.

$n < 4\frac{1}{7}$

В условии задачи сказано, что $n$ — натуральное число. Натуральные числа — это целые положительные числа (1, 2, 3, ...). Нам нужно найти все натуральные числа, которые меньше $4\frac{1}{7}$.

Такими числами являются 1, 2, 3 и 4.

Ответ: при натуральных значениях $n = 1, 2, 3, 4$.

б) сумма $(-27,1 + 3n) + (7,1 + 5n)$ отрицательна

Для того чтобы сумма была отрицательной, она должна быть меньше нуля. Составим и решим соответствующее неравенство:

$(-27,1 + 3n) + (7,1 + 5n) < 0$

Раскроем скобки. Так как перед скобками стоит знак плюс (или знака нет), знаки слагаемых внутри них не меняются.

$-27,1 + 3n + 7,1 + 5n < 0$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые.

$(-27,1 + 7,1) + (3n + 5n) < 0$

$-20 + 8n < 0$

Перенесем число -20 в правую часть неравенства, изменив его знак на противоположный.

$8n < 20$

Разделим обе части неравенства на 8. Знак неравенства при этом не меняется.

$n < \frac{20}{8}$

Сократим дробь на 4 и представим в виде десятичной дроби.

$n < \frac{5}{2}$

$n < 2,5$

Согласно условию, $n$ — натуральное число. Нам нужно найти все натуральные числа, которые меньше 2,5.

Такими числами являются 1 и 2.

Ответ: при натуральных значениях $n = 1, 2$.

863. Найдите множество значений $a$, при которых уравнение

$(a + 5)x^2 + 4x - 20 = 0$

не имеет корней.

Данное уравнение $(a + 5)x^2 + 4x - 20 = 0$ является уравнением с параметром $a$. Чтобы найти, при каких значениях $a$ оно не имеет корней, необходимо рассмотреть два случая в зависимости от коэффициента при $x^2$.

1. Случай, когда уравнение является линейным.

Это происходит, если коэффициент при $x^2$ равен нулю, то есть $a + 5 = 0$.

$a = -5$

Подставим это значение $a$ в исходное уравнение:

$(-5 + 5)x^2 + 4x - 20 = 0$

$0 \cdot x^2 + 4x - 20 = 0$

$4x - 20 = 0$

$4x = 20$

$x = 5$

При $a = -5$ уравнение имеет один корень, что не соответствует условию задачи (уравнение не имеет корней).

2. Случай, когда уравнение является квадратным.

Это происходит, если коэффициент при $x^2$ не равен нулю, то есть $a + 5 \neq 0$, или $a \neq -5$.

Квадратное уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант $D$ отрицателен ($D < 0$).

Коэффициенты уравнения $ (a + 5)x^2 + 4x - 20 = 0 $ равны:

$A = a + 5$, $B = 4$, $C = -20$.

Найдем дискриминант по формуле $D = B^2 - 4AC$:

$D = 4^2 - 4 \cdot (a + 5) \cdot (-20)$

$D = 16 + 80 \cdot (a + 5)$

$D = 16 + 80a + 400$

$D = 80a + 416$

Теперь решим неравенство $D < 0$, чтобы найти значения $a$, при которых корней нет:

$80a + 416 < 0$

$80a < -416$

$a < -\frac{416}{80}$

Сократим дробь:

$a < -\frac{416 \div 16}{80 \div 16} = -\frac{26}{5}$

$a < -5.2$

Полученное множество значений $a < -5.2$ удовлетворяет условию $a \neq -5$, так как число $-5$ больше, чем $-5.2$, и не входит в этот интервал.

Объединяя результаты обоих случаев, приходим к выводу, что исходное уравнение не имеет корней при $a < -5.2$.

Ответ: $a \in (-\infty; -5.2)$.

864. Найдите множество значений $k$, при которых уравнение $(k - 4)x^2 + 16x - 24 = 0$ имеет два корня.

Данное уравнение $(k-4)x^2 + 16x - 24 = 0$ является уравнением с параметром $k$. Чтобы оно имело два корня, необходимо рассмотреть два возможных случая в зависимости от коэффициента при $x^2$.

1. Случай, когда уравнение является линейным. Это происходит, если коэффициент при $x^2$ равен нулю:

$k-4 = 0 \implies k = 4$.

Подставим это значение $k$ в исходное уравнение:

$(4-4)x^2 + 16x - 24 = 0$

$0 \cdot x^2 + 16x - 24 = 0$

$16x - 24 = 0$

$16x = 24$

$x = \frac{24}{16} = \frac{3}{2}$

При $k=4$ уравнение имеет только один корень, что не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, $k \neq 4$.

2. Случай, когда уравнение является квадратным. Это выполняется при условии, что коэффициент при $x^2$ не равен нулю, то есть $k-4 \neq 0$.

Квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет два различных корня тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ строго больше нуля ($D > 0$).

Для нашего уравнения коэффициенты равны: $a = k-4$, $b = 16$, $c = -24$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 16^2 - 4(k-4)(-24) = 256 + 96(k-4)$

$D = 256 + 96k - 384$

$D = 96k - 128$

Теперь решим неравенство $D > 0$:

$96k - 128 > 0$

$96k > 128$

$k > \frac{128}{96}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 32:

$k > \frac{128 \div 32}{96 \div 32} = \frac{4}{3}$

Итак, для того чтобы уравнение имело два корня, необходимо, чтобы одновременно выполнялись два условия: $k > \frac{4}{3}$ и $k \neq 4$.

Объединяя эти два условия, мы получаем множество всех чисел, которые больше $\frac{4}{3}$, за исключением числа 4. Это множество можно записать в виде объединения двух интервалов.

Ответ: $k \in (\frac{4}{3}; 4) \cup (4; +\infty)$.

865. Длина стороны прямоугольника $6 \text{ см}$. Какой должна быть длина другой стороны, чтобы периметр прямоугольника был меньше периметра квадрата со стороной $4 \text{ см}$?

Для решения этой задачи необходимо сравнить периметр прямоугольника с периметром квадрата. Выполним пошаговое решение.

1. Находим периметр квадрата.

Периметр квадрата ($P_{кв}$) вычисляется по формуле $P_{кв} = 4 \times a$, где $a$ — длина его стороны. По условию, $a = 4$ см.
$P_{кв} = 4 \times 4 = 16$ см.

2. Составляем неравенство для периметра прямоугольника.

Периметр прямоугольника ($P_{пр}$) вычисляется по формуле $P_{пр} = 2 \times (l + w)$, где $l$ и $w$ — длины его сторон.
По условию, одна сторона прямоугольника равна 6 см. Обозначим длину неизвестной стороны как $x$ см.
Тогда периметр прямоугольника равен: $P_{пр} = 2 \times (6 + x)$.

Согласно условию задачи, периметр прямоугольника должен быть меньше периметра квадрата:
$P_{пр} < P_{кв}$
$2 \times (6 + x) < 16$

3. Решаем неравенство.

Решим полученное неравенство, чтобы найти возможные значения для $x$.
$2 \times (6 + x) < 16$
Разделим обе части неравенства на 2:
$6 + x < 8$
Вычтем 6 из обеих частей:
$x < 8 - 6$
$x < 2$

Поскольку длина стороны не может быть отрицательным числом или нулем, должно также выполняться условие $x > 0$.
Объединив оба условия, получаем, что длина второй стороны должна быть больше 0 и меньше 2 см.

Ответ: Длина другой стороны прямоугольника должна быть меньше 2 см, но больше 0 см.

866. Длина основания прямоугольного параллелепипеда 12 дм, ширина 5 дм. Какой должна быть высота параллелепипеда, чтобы его объём был меньше объёма куба с ребром 9 дм?

Для решения этой задачи необходимо сравнить объём прямоугольного параллелепипеда с объёмом куба. Условие задачи гласит, что объём параллелепипеда должен быть меньше объёма куба.

1. Сначала вычислим объём куба ($V_{куба}$). Объём куба находится по формуле $V = a^3$, где $a$ — длина его ребра. По условию, ребро куба равно 9 дм.

$V_{куба} = 9^3 = 9 \cdot 9 \cdot 9 = 729$ дм$^3$.

2. Теперь запишем выражение для объёма прямоугольного параллелепипеда ($V_{пар}$). Его объём вычисляется как произведение длины, ширины и высоты: $V = l \cdot w \cdot h$. Нам известны длина $l = 12$ дм и ширина $w = 5$ дм. Высоту $h$ нужно найти.

$V_{пар} = 12 \cdot 5 \cdot h = 60 \cdot h$ дм$^3$.

3. Составим неравенство, исходя из условия, что объём параллелепипеда меньше объёма куба:

$V_{пар} < V_{куба}$

Подставим полученные значения в неравенство:

$60 \cdot h < 729$

4. Решим неравенство относительно высоты $h$, разделив обе части на 60:

$h < \frac{729}{60}$

Выполним деление:

$h < 12,15$

Так как высота — это физическая величина, она должна быть больше нуля. Следовательно, высота параллелепипеда должна быть в интервале $(0; 12,15)$ дм.

Ответ: высота параллелепипеда должна быть меньше 12,15 дм.