Страница 192 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

852. Решите неравенство:

а) $\frac{x}{2} + \frac{x}{3} < 5;$

б) $\frac{3y}{2} - \frac{y}{3} \ge 2;$

в) $\frac{x}{4} - \frac{x}{2} > -3;$

г) $y + \frac{y}{2} > 3;$

д) $\frac{2x}{5} - x \le 1;$

е) $\frac{3x}{4} - 2x < 0.$

а) $\frac{x}{2} + \frac{x}{3} < 5$

Чтобы решить неравенство, приведем дроби в левой части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 2 и 3 равен 6. Умножим обе части неравенства на 6:

$6 \cdot (\frac{x}{2} + \frac{x}{3}) < 6 \cdot 5$

$6 \cdot \frac{x}{2} + 6 \cdot \frac{x}{3} < 30$

$3x + 2x < 30$

Сложим подобные слагаемые в левой части:

$5x < 30$

Разделим обе части неравенства на 5:

$x < \frac{30}{5}$

$x < 6$

Ответ: $x \in (-\infty; 6)$.

б) $\frac{3y}{2} - \frac{y}{3} \ge 2$

Приведем дроби к общему знаменателю 6. Умножим обе части неравенства на 6:

$6 \cdot (\frac{3y}{2} - \frac{y}{3}) \ge 6 \cdot 2$

$6 \cdot \frac{3y}{2} - 6 \cdot \frac{y}{3} \ge 12$

$3 \cdot 3y - 2 \cdot y \ge 12$

$9y - 2y \ge 12$

Приведем подобные слагаемые:

$7y \ge 12$

Разделим обе части на 7:

$y \ge \frac{12}{7}$

Ответ: $y \in [\frac{12}{7}; +\infty)$.

в) $\frac{x}{4} - \frac{x}{2} > -3$

Общий знаменатель для дробей в левой части равен 4. Умножим обе части неравенства на 4:

$4 \cdot (\frac{x}{4} - \frac{x}{2}) > 4 \cdot (-3)$

$4 \cdot \frac{x}{4} - 4 \cdot \frac{x}{2} > -12$

$x - 2x > -12$

Приведем подобные слагаемые:

$-x > -12$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x < 12$

Ответ: $x \in (-\infty; 12)$.

г) $y + \frac{y}{2} > 3$

Умножим обе части неравенства на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

$2 \cdot (y + \frac{y}{2}) > 2 \cdot 3$

$2y + y > 6$

Приведем подобные слагаемые:

$3y > 6$

Разделим обе части на 3:

$y > \frac{6}{3}$

$y > 2$

Ответ: $y \in (2; +\infty)$.

д) $\frac{2x}{5} - x \le 1$

Представим $x$ как $\frac{5x}{5}$ и приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{2x}{5} - \frac{5x}{5} \le 1$

$\frac{2x - 5x}{5} \le 1$

$\frac{-3x}{5} \le 1$

Умножим обе части на 5:

$-3x \le 5$

Разделим обе части на -3, изменив знак неравенства на противоположный:

$x \ge -\frac{5}{3}$

Ответ: $x \in [-\frac{5}{3}; +\infty)$.

е) $\frac{3x}{4} - 2x < 0$

Приведем левую часть к общему знаменателю 4:

$\frac{3x}{4} - \frac{8x}{4} < 0$

$\frac{3x - 8x}{4} < 0$

$\frac{-5x}{4} < 0$

Умножим обе части на 4:

$-5x < 0$

Разделим обе части на -5, изменив знак неравенства на противоположный:

$x > 0$

Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

853. Решите неравенство и покажите на координатной прямой множество его решений:

a) $\frac{13x - 1}{2} < 4x;$

б) $\frac{5 - 2a}{4} \ge 2a;$

в) $\frac{x}{4} - \frac{x}{5} \le 2;$

г) $\frac{2y}{5} - \frac{y}{2} \ge 1.$

а)

Решим неравенство $\frac{13x - 1}{2} < 4x$.

1. Умножим обе части неравенства на 2, чтобы избавиться от знаменателя. Так как 2 - положительное число, знак неравенства не изменится:

$2 \cdot \frac{13x - 1}{2} < 2 \cdot 4x$

$13x - 1 < 8x$

2. Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые - в правую:

$13x - 8x < 1$

$5x < 1$

3. Разделим обе части на 5. Знак неравенства не меняется:

$x < \frac{1}{5}$

Множество решений неравенства — это все числа, которые меньше $\frac{1}{5}$. На координатной прямой это открытый луч, идущий влево от точки $\frac{1}{5}$. Точка $\frac{1}{5}$ не включается в решение, поэтому на прямой она изображается "выколотой" (пустым кружком).

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{5})$.

б)

Решим неравенство $\frac{5 - 2a}{4} \geq 2a$.

1. Умножим обе части неравенства на 4. Знак неравенства не меняется:

$4 \cdot \frac{5 - 2a}{4} \geq 4 \cdot 2a$

$5 - 2a \geq 8a$

2. Перенесем слагаемые с переменной $a$ в правую часть, а числовые оставим в левой:

$5 \geq 8a + 2a$

$5 \geq 10a$

3. Разделим обе части на 10. Знак неравенства не меняется. Для удобства прочтения поменяем части местами:

$\frac{5}{10} \geq a$

$a \leq \frac{1}{2}$

Множество решений — это все числа, которые меньше или равны $\frac{1}{2}$. На координатной прямой это луч, идущий влево от точки $\frac{1}{2}$. Точка $\frac{1}{2}$ включается в решение, поэтому на прямой она изображается "закрашенной" (сплошным кружком).

Ответ: $a \in (-\infty; \frac{1}{2}]$.

в)

Решим неравенство $\frac{x}{4} - \frac{x}{5} \leq 2$.

1. Найдем общий знаменатель для дробей в левой части. Наименьший общий знаменатель для 4 и 5 — это 20. Умножим обе части неравенства на 20:

$20 \cdot (\frac{x}{4} - \frac{x}{5}) \leq 20 \cdot 2$

$\frac{20x}{4} - \frac{20x}{5} \leq 40$

$5x - 4x \leq 40$

2. Упростим левую часть:

$x \leq 40$

Множество решений — это все числа, которые меньше или равны 40. На координатной прямой это луч, идущий влево от точки 40. Точка 40 включается в решение, поэтому изображается "закрашенной".

Ответ: $x \in (-\infty; 40]$.

г)

Решим неравенство $\frac{2y}{5} - \frac{y}{2} \geq 1$.

1. Найдем общий знаменатель для дробей в левой части. Наименьший общий знаменатель для 5 и 2 — это 10. Умножим обе части неравенства на 10:

$10 \cdot (\frac{2y}{5} - \frac{y}{2}) \geq 10 \cdot 1$

$\frac{10 \cdot 2y}{5} - \frac{10y}{2} \geq 10$

$2 \cdot 2y - 5y \geq 10$

$4y - 5y \geq 10$

2. Упростим левую часть:

$-y \geq 10$

3. Умножим обе части на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$y \leq -10$

Множество решений — это все числа, которые меньше или равны -10. На координатной прямой это луч, идущий влево от точки -10. Точка -10 включается в решение и изображается "закрашенной".

Ответ: $y \in (-\infty; -10]$.

854. Решите неравенство:

a) $ \frac{3+x}{4} + \frac{2-x}{3} < 0; $

б) $ \frac{4-y}{5} - 5y \ge 0; $

в) $ y - \frac{2y-1}{4} \ge 1; $

г) $ x - \frac{x-3}{5} + \frac{2x-1}{10} \le 4; $

д) $ \frac{y-1}{2} - 1 + \frac{2y-1}{6} > y; $

е) $ p - \frac{p-1}{2} - \frac{p+3}{4} > 2. $

а)

Дано неравенство $\frac{3+x}{4} + \frac{2-x}{3} < 0$.

Чтобы избавиться от дробей, приведем левую часть к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 3 равен 12.

Умножим обе части неравенства на 12. Так как 12 является положительным числом, знак неравенства не изменится.

$12 \cdot \left(\frac{3+x}{4} + \frac{2-x}{3}\right) < 12 \cdot 0$

$3(3+x) + 4(2-x) < 0$

Раскроем скобки:

$9 + 3x + 8 - 4x < 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(9+8) + (3x-4x) < 0$

$17 - x < 0$

Перенесем $x$ в правую часть:

$17 < x$

Ответ: $x \in (17; +\infty)$.

б)

Дано неравенство $\frac{4-y}{5} - 5y \ge 0$.

Умножим обе части неравенства на 5, чтобы избавиться от знаменателя. Знак неравенства при умножении на положительное число не меняется.

$5 \cdot \left(\frac{4-y}{5} - 5y\right) \ge 5 \cdot 0$

$4-y - 25y \ge 0$

Приведем подобные слагаемые:

$4 - 26y \ge 0$

Перенесем $26y$ в правую часть:

$4 \ge 26y$

Разделим обе части на 26:

$\frac{4}{26} \ge y$

Сократим дробь:

$y \le \frac{2}{13}$

Ответ: $y \in (-\infty; \frac{2}{13}]$.

в)

Дано неравенство $y - \frac{2y-1}{4} \ge 1$.

Умножим обе части неравенства на 4:

$4 \cdot y - 4 \cdot \frac{2y-1}{4} \ge 4 \cdot 1$

$4y - (2y-1) \ge 4$

Раскроем скобки. Так как перед скобкой стоит знак "минус", знаки слагаемых в скобках меняются на противоположные.

$4y - 2y + 1 \ge 4$

Приведем подобные слагаемые:

$2y + 1 \ge 4$

Перенесем 1 в правую часть с противоположным знаком:

$2y \ge 4 - 1$

$2y \ge 3$

Разделим обе части на 2:

$y \ge \frac{3}{2}$

Ответ: $y \in [\frac{3}{2}; +\infty)$.

г)

Дано неравенство $x - \frac{x-3}{5} + \frac{2x-1}{10} \le 4$.

Наименьший общий знаменатель для 5 и 10 равен 10. Умножим обе части неравенства на 10.

$10 \cdot x - 10 \cdot \frac{x-3}{5} + 10 \cdot \frac{2x-1}{10} \le 10 \cdot 4$

$10x - 2(x-3) + (2x-1) \le 40$

Раскроем скобки:

$10x - 2x + 6 + 2x - 1 \le 40$

Приведем подобные слагаемые:

$(10x - 2x + 2x) + (6-1) \le 40$

$10x + 5 \le 40$

Перенесем 5 в правую часть:

$10x \le 40 - 5$

$10x \le 35$

Разделим обе части на 10:

$x \le \frac{35}{10}$

$x \le 3.5$

Ответ: $x \in (-\infty; 3.5]$.

д)

Дано неравенство $\frac{y-1}{2} - 1 + \frac{2y-1}{6} > y$.

Наименьший общий знаменатель для 2 и 6 равен 6. Умножим все члены неравенства на 6.

$6 \cdot \frac{y-1}{2} - 6 \cdot 1 + 6 \cdot \frac{2y-1}{6} > 6 \cdot y$

$3(y-1) - 6 + (2y-1) > 6y$

Раскроем скобки:

$3y - 3 - 6 + 2y - 1 > 6y$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(3y+2y) + (-3-6-1) > 6y$

$5y - 10 > 6y$

Перенесем слагаемые с переменной $y$ в правую часть, а числа оставим в левой:

$-10 > 6y - 5y$

$-10 > y$

Запишем в более привычном виде:

$y < -10$

Ответ: $y \in (-\infty; -10)$.

е)

Дано неравенство $p - \frac{p-1}{2} - \frac{p+3}{4} > 2$.

Наименьший общий знаменатель для 2 и 4 равен 4. Умножим обе части неравенства на 4.

$4 \cdot p - 4 \cdot \frac{p-1}{2} - 4 \cdot \frac{p+3}{4} > 4 \cdot 2$

$4p - 2(p-1) - (p+3) > 8$

Раскроем скобки, внимательно следя за знаками:

$4p - 2p + 2 - p - 3 > 8$

Приведем подобные слагаемые:

$(4p-2p-p) + (2-3) > 8$

$p - 1 > 8$

Перенесем -1 в правую часть:

$p > 8+1$

$p > 9$

Ответ: $p \in (9; +\infty)$.

855. Решите неравенство:

а) $\frac{2a - 1}{2} - \frac{3a - 3}{5} > a;$

б) $x - \frac{2x + 3}{2} \le \frac{x - 1}{4};$

в) $\frac{5x - 1}{5} + \frac{x + 1}{2} \le x;$

г) $\frac{y - 1}{2} - \frac{2y + 3}{8} - y > 2.$

а) Решим неравенство $\frac{2a - 1}{2} - \frac{3a - 3}{5} > a$.

Для того чтобы избавиться от дробных коэффициентов, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 2 и 5, которое равно 10. Так как 10 — положительное число, знак неравенства сохранится.

$10 \cdot \left(\frac{2a - 1}{2} - \frac{3a - 3}{5}\right) > 10 \cdot a$

$10 \cdot \frac{2a - 1}{2} - 10 \cdot \frac{3a - 3}{5} > 10a$

$5(2a - 1) - 2(3a - 3) > 10a$

Раскроем скобки в левой части неравенства:

$10a - 5 - 6a + 6 > 10a$

Приведем подобные слагаемые:

$(10a - 6a) + (-5 + 6) > 10a$

$4a + 1 > 10a$

Перенесем все слагаемые с переменной $a$ в правую часть, а свободные члены оставим в левой:

$1 > 10a - 4a$

$1 > 6a$

Разделим обе части неравенства на 6. Знак неравенства не изменится.

$\frac{1}{6} > a$, что эквивалентно $a < \frac{1}{6}$.

Таким образом, решением является интервал $(-\infty; \frac{1}{6})$.

Ответ: $a \in (-\infty; \frac{1}{6})$.

б) Решим неравенство $x - \frac{2x + 3}{2} \le \frac{x - 1}{4}$.

Умножим обе части неравенства на НОК знаменателей 2 и 4, то есть на 4. Знак неравенства не изменится.

$4 \cdot x - 4 \cdot \frac{2x + 3}{2} \le 4 \cdot \frac{x - 1}{4}$

$4x - 2(2x + 3) \le x - 1$

Раскроем скобки:

$4x - 4x - 6 \le x - 1$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-6 \le x - 1$

Перенесем свободные члены в левую часть, чтобы изолировать $x$:

$-6 + 1 \le x$

$-5 \le x$

Решением является числовой промежуток $[-5; +\infty)$.

Ответ: $x \in [-5; +\infty)$.

в) Решим неравенство $\frac{5x - 1}{5} + \frac{x + 1}{2} \le x$.

Умножим обе части неравенства на НОК знаменателей 5 и 2, то есть на 10.

$10 \cdot \left(\frac{5x - 1}{5} + \frac{x + 1}{2}\right) \le 10 \cdot x$

$2(5x - 1) + 5(x + 1) \le 10x$

Раскроем скобки:

$10x - 2 + 5x + 5 \le 10x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$15x + 3 \le 10x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$15x - 10x \le -3$

$5x \le -3$

Разделим обе части на 5:

$x \le -\frac{3}{5}$

Решением является числовой промежуток $(-\infty; -0.6]$.

Ответ: $x \in (-\infty; -0.6]$.

г) Решим неравенство $\frac{y - 1}{2} - \frac{2y + 3}{8} - y > 2$.

Умножим обе части неравенства на НОК знаменателей 2 и 8, то есть на 8.

$8 \cdot \left(\frac{y - 1}{2} - \frac{2y + 3}{8} - y\right) > 8 \cdot 2$

$4(y - 1) - 1(2y + 3) - 8y > 16$

Раскроем скобки:

$4y - 4 - 2y - 3 - 8y > 16$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(4y - 2y - 8y) + (-4 - 3) > 16$

$-6y - 7 > 16$

Перенесем свободный член -7 в правую часть:

$-6y > 16 + 7$

$-6y > 23$

Разделим обе части на -6. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства необходимо изменить на противоположный (с ">" на "<"):

$y < \frac{23}{-6}$

$y < -\frac{23}{6}$

Решением является интервал $(-\infty; -\frac{23}{6})$.

Ответ: $y \in (-\infty; -\frac{23}{6})$.

856. a) При каких значениях $a$ сумма дробей $\frac{2a-1}{4}$ и $\frac{a-1}{3}$ положительна?

б) При каких значениях $b$ разность дробей $\frac{3b-1}{2}$ и $\frac{1+5b}{4}$ отрицательна?

а) Для того чтобы найти значения a, при которых сумма дробей $\frac{2a-1}{4}$ и $\frac{a-1}{3}$ положительна, необходимо решить неравенство:
$\frac{2a-1}{4} + \frac{a-1}{3} > 0$
Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 3 это 12. Домножим первую дробь на 3, а вторую на 4:
$\frac{3(2a-1)}{12} + \frac{4(a-1)}{12} > 0$
Теперь можно записать сумму под общим знаменателем:
$\frac{3(2a-1) + 4(a-1)}{12} > 0$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{6a - 3 + 4a - 4}{12} > 0$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{10a - 7}{12} > 0$
Знаменатель дроби (12) — положительное число. Следовательно, чтобы дробь была положительной, ее числитель также должен быть положительным:
$10a - 7 > 0$
Перенесем -7 в правую часть неравенства, изменив знак:
$10a > 7$
Разделим обе части на 10:
$a > \frac{7}{10}$
Или в десятичной форме:
$a > 0.7$
Ответ: $a > 0.7$.

б) Для того чтобы найти значения b, при которых разность дробей $\frac{3b-1}{2}$ и $\frac{1+5b}{4}$ отрицательна, необходимо решить неравенство:
$\frac{3b-1}{2} - \frac{1+5b}{4} < 0$
Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 2 и 4 это 4. Домножим первую дробь на 2:
$\frac{2(3b-1)}{4} - \frac{1+5b}{4} < 0$
Запишем разность под общим знаменателем. Важно не забыть, что минус перед второй дробью относится ко всему ее числителю:
$\frac{2(3b-1) - (1+5b)}{4} < 0$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{6b - 2 - 1 - 5b}{4} < 0$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{b - 3}{4} < 0$
Знаменатель дроби (4) — положительное число. Следовательно, чтобы дробь была отрицательной, ее числитель должен быть отрицательным:
$b - 3 < 0$
Перенесем -3 в правую часть неравенства, изменив знак:
$b < 3$
Ответ: $b < 3$.