Номер 852, страница 192 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Решение неравенств с одной переменной. § 11. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 852, страница 192.

852. Решите неравенство:

а) $\frac{x}{2} + \frac{x}{3} < 5;$

б) $\frac{3y}{2} - \frac{y}{3} \ge 2;$

в) $\frac{x}{4} - \frac{x}{2} > -3;$

г) $y + \frac{y}{2} > 3;$

д) $\frac{2x}{5} - x \le 1;$

е) $\frac{3x}{4} - 2x < 0.$

а) $\frac{x}{2} + \frac{x}{3} < 5$

Чтобы решить неравенство, приведем дроби в левой части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 2 и 3 равен 6. Умножим обе части неравенства на 6:

$6 \cdot (\frac{x}{2} + \frac{x}{3}) < 6 \cdot 5$

$6 \cdot \frac{x}{2} + 6 \cdot \frac{x}{3} < 30$

$3x + 2x < 30$

Сложим подобные слагаемые в левой части:

$5x < 30$

Разделим обе части неравенства на 5:

$x < \frac{30}{5}$

$x < 6$

Ответ: $x \in (-\infty; 6)$.

б) $\frac{3y}{2} - \frac{y}{3} \ge 2$

Приведем дроби к общему знаменателю 6. Умножим обе части неравенства на 6:

$6 \cdot (\frac{3y}{2} - \frac{y}{3}) \ge 6 \cdot 2$

$6 \cdot \frac{3y}{2} - 6 \cdot \frac{y}{3} \ge 12$

$3 \cdot 3y - 2 \cdot y \ge 12$

$9y - 2y \ge 12$

Приведем подобные слагаемые:

$7y \ge 12$

Разделим обе части на 7:

$y \ge \frac{12}{7}$

Ответ: $y \in [\frac{12}{7}; +\infty)$.

в) $\frac{x}{4} - \frac{x}{2} > -3$

Общий знаменатель для дробей в левой части равен 4. Умножим обе части неравенства на 4:

$4 \cdot (\frac{x}{4} - \frac{x}{2}) > 4 \cdot (-3)$

$4 \cdot \frac{x}{4} - 4 \cdot \frac{x}{2} > -12$

$x - 2x > -12$

Приведем подобные слагаемые:

$-x > -12$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x < 12$

Ответ: $x \in (-\infty; 12)$.

г) $y + \frac{y}{2} > 3$

Умножим обе части неравенства на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

$2 \cdot (y + \frac{y}{2}) > 2 \cdot 3$

$2y + y > 6$

Приведем подобные слагаемые:

$3y > 6$

Разделим обе части на 3:

$y > \frac{6}{3}$

$y > 2$

Ответ: $y \in (2; +\infty)$.

д) $\frac{2x}{5} - x \le 1$

Представим $x$ как $\frac{5x}{5}$ и приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{2x}{5} - \frac{5x}{5} \le 1$

$\frac{2x - 5x}{5} \le 1$

$\frac{-3x}{5} \le 1$

Умножим обе части на 5:

$-3x \le 5$

Разделим обе части на -3, изменив знак неравенства на противоположный:

$x \ge -\frac{5}{3}$

Ответ: $x \in [-\frac{5}{3}; +\infty)$.

е) $\frac{3x}{4} - 2x < 0$

Приведем левую часть к общему знаменателю 4:

$\frac{3x}{4} - \frac{8x}{4} < 0$

$\frac{3x - 8x}{4} < 0$

$\frac{-5x}{4} < 0$

Умножим обе части на 4:

$-5x < 0$

Разделим обе части на -5, изменив знак неравенства на противоположный:

$x > 0$

Ответ: $x \in (0; +\infty)$.