Номер 853, страница 192 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Решение неравенств с одной переменной. § 11. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 853, страница 192.

853. Решите неравенство и покажите на координатной прямой множество его решений:

a) $\frac{13x - 1}{2} < 4x;$

б) $\frac{5 - 2a}{4} \ge 2a;$

в) $\frac{x}{4} - \frac{x}{5} \le 2;$

г) $\frac{2y}{5} - \frac{y}{2} \ge 1.$

а)

Решим неравенство $\frac{13x - 1}{2} < 4x$.

1. Умножим обе части неравенства на 2, чтобы избавиться от знаменателя. Так как 2 - положительное число, знак неравенства не изменится:

$2 \cdot \frac{13x - 1}{2} < 2 \cdot 4x$

$13x - 1 < 8x$

2. Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые - в правую:

$13x - 8x < 1$

$5x < 1$

3. Разделим обе части на 5. Знак неравенства не меняется:

$x < \frac{1}{5}$

Множество решений неравенства — это все числа, которые меньше $\frac{1}{5}$. На координатной прямой это открытый луч, идущий влево от точки $\frac{1}{5}$. Точка $\frac{1}{5}$ не включается в решение, поэтому на прямой она изображается "выколотой" (пустым кружком).

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{5})$.

б)

Решим неравенство $\frac{5 - 2a}{4} \geq 2a$.

1. Умножим обе части неравенства на 4. Знак неравенства не меняется:

$4 \cdot \frac{5 - 2a}{4} \geq 4 \cdot 2a$

$5 - 2a \geq 8a$

2. Перенесем слагаемые с переменной $a$ в правую часть, а числовые оставим в левой:

$5 \geq 8a + 2a$

$5 \geq 10a$

3. Разделим обе части на 10. Знак неравенства не меняется. Для удобства прочтения поменяем части местами:

$\frac{5}{10} \geq a$

$a \leq \frac{1}{2}$

Множество решений — это все числа, которые меньше или равны $\frac{1}{2}$. На координатной прямой это луч, идущий влево от точки $\frac{1}{2}$. Точка $\frac{1}{2}$ включается в решение, поэтому на прямой она изображается "закрашенной" (сплошным кружком).

Ответ: $a \in (-\infty; \frac{1}{2}]$.

в)

Решим неравенство $\frac{x}{4} - \frac{x}{5} \leq 2$.

1. Найдем общий знаменатель для дробей в левой части. Наименьший общий знаменатель для 4 и 5 — это 20. Умножим обе части неравенства на 20:

$20 \cdot (\frac{x}{4} - \frac{x}{5}) \leq 20 \cdot 2$

$\frac{20x}{4} - \frac{20x}{5} \leq 40$

$5x - 4x \leq 40$

2. Упростим левую часть:

$x \leq 40$

Множество решений — это все числа, которые меньше или равны 40. На координатной прямой это луч, идущий влево от точки 40. Точка 40 включается в решение, поэтому изображается "закрашенной".

Ответ: $x \in (-\infty; 40]$.

г)

Решим неравенство $\frac{2y}{5} - \frac{y}{2} \geq 1$.

1. Найдем общий знаменатель для дробей в левой части. Наименьший общий знаменатель для 5 и 2 — это 10. Умножим обе части неравенства на 10:

$10 \cdot (\frac{2y}{5} - \frac{y}{2}) \geq 10 \cdot 1$

$\frac{10 \cdot 2y}{5} - \frac{10y}{2} \geq 10$

$2 \cdot 2y - 5y \geq 10$

$4y - 5y \geq 10$

2. Упростим левую часть:

$-y \geq 10$

3. Умножим обе части на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$y \leq -10$

Множество решений — это все числа, которые меньше или равны -10. На координатной прямой это луч, идущий влево от точки -10. Точка -10 включается в решение и изображается "закрашенной".

Ответ: $y \in (-\infty; -10]$.