Номер 847, страница 191 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Решение неравенств с одной переменной. § 11. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 847, страница 191.

847. Решите неравенство:

a) $0.2x^2 - 0.2(x - 6)(x + 6) > 3.6x$

б) $(2x - 5)^2 - 0.5x < (2x - 1)(2x + 1) - 15$

в) $(12x - 1)(3x + 1) < 1 + (6x + 2)^2$

г) $(4y - 1)^2 > (2y + 3)(8y - 1)$

а) $0,2x^2 - 0,2(x - 6)(x + 6) > 3,6x$
Раскроем скобки, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:
$0,2x^2 - 0,2(x^2 - 36) > 3,6x$
Распределим множитель $-0,2$:
$0,2x^2 - 0,2x^2 + 0,2 \cdot 36 > 3,6x$
Слагаемые $0,2x^2$ и $-0,2x^2$ взаимно уничтожаются. Упрощаем неравенство:
$7,2 > 3,6x$
Разделим обе части неравенства на $3,6$ (знак неравенства не меняется, так как $3,6 > 0$):
$\frac{7,2}{3,6} > x$
$2 > x$
Или, что то же самое: $x < 2$.
Ответ: $x < 2$.

б) $(2x - 5)^2 - 0,5x < (2x - 1)(2x + 1) - 15$
Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ для левой части и формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ для правой части:
$((2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 5 + 5^2) - 0,5x < ((2x)^2 - 1^2) - 15$
$4x^2 - 20x + 25 - 0,5x < 4x^2 - 1 - 15$
Приведем подобные слагаемые в обеих частях:
$4x^2 - 20,5x + 25 < 4x^2 - 16$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а постоянные члены - в правую. Слагаемые $4x^2$ взаимно уничтожаются:
$-20,5x < -16 - 25$
$-20,5x < -41$
Разделим обе части на $-20,5$. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:
$x > \frac{-41}{-20,5}$
$x > 2$
Ответ: $x > 2$.

в) $(12x - 1)(3x + 1) < 1 + (6x + 2)^2$
Раскроем скобки в обеих частях неравенства. В левой части перемножим многочлены, в правой используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$36x^2 + 12x - 3x - 1 < 1 + (36x^2 + 2 \cdot 6x \cdot 2 + 4)$
Приведем подобные слагаемые:
$36x^2 + 9x - 1 < 1 + 36x^2 + 24x + 4$
$36x^2 + 9x - 1 < 36x^2 + 24x + 5$
Слагаемые $36x^2$ взаимно уничтожаются. Перенесем члены с $x$ в одну сторону, а числа в другую:
$9x - 24x < 5 + 1$
$-15x < 6$
Разделим обе части на $-15$, изменив знак неравенства на противоположный:
$x > \frac{6}{-15}$
Сократим дробь:
$x > -\frac{2}{5}$
$x > -0,4$
Ответ: $x > -0,4$.

г) $(4y - 1)^2 > (2y + 3)(8y - 1)$
Раскроем скобки в обеих частях. В левой части используем формулу квадрата разности, в правой — перемножим многочлены:
$(4y)^2 - 2 \cdot 4y \cdot 1 + 1^2 > 16y^2 - 2y + 24y - 3$
$16y^2 - 8y + 1 > 16y^2 + 22y - 3$
Слагаемые $16y^2$ взаимно уничтожаются. Перенесем члены с $y$ в правую часть, а числа — в левую:
$1 + 3 > 22y + 8y$
$4 > 30y$
Разделим обе части на $30$ (знак неравенства не меняется):
$\frac{4}{30} > y$
Сократим дробь:
$\frac{2}{15} > y$
Или, что то же самое: $y < \frac{2}{15}$.
Ответ: $y < \frac{2}{15}$.