Номер 850, страница 191 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Решение неравенств с одной переменной. § 11. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 850, страница 191.

850. Решите неравенство:

а) $ \frac{9x}{5} \ge 0; $

б) $ 1 < \frac{3x}{4}; $

в) $ \frac{5+6x}{2} > 3; $

г) $ \frac{4x-11}{4} \le 0; $

д) $ \frac{1}{7}x \ge 2; $

е) $ \frac{2}{11}(x-4) < 3. $

а) $\frac{9x}{5} \ge 0$

Чтобы решить неравенство, сначала избавимся от знаменателя. Умножим обе части неравенства на 5. Так как 5 — положительное число, знак неравенства не меняется:

$\frac{9x}{5} \cdot 5 \ge 0 \cdot 5$

$9x \ge 0$

Теперь разделим обе части на 9. Так как 9 — положительное число, знак неравенства снова не меняется:

$\frac{9x}{9} \ge \frac{0}{9}$

$x \ge 0$

Ответ: $x \in [0; +\infty)$

б) $1 < \frac{3x}{4}$

Для удобства можно записать неравенство как $\frac{3x}{4} > 1$.

Умножим обе части на 4. Знак неравенства не изменится, так как 4 > 0:

$\frac{3x}{4} \cdot 4 > 1 \cdot 4$

$3x > 4$

Разделим обе части на 3. Знак неравенства не изменится, так как 3 > 0:

$\frac{3x}{3} > \frac{4}{3}$

$x > \frac{4}{3}$

Ответ: $x \in (\frac{4}{3}; +\infty)$

в) $\frac{5+6x}{2} > 3$

Умножим обе части неравенства на 2. Знак неравенства не меняется (2 > 0):

$\frac{5+6x}{2} \cdot 2 > 3 \cdot 2$

$5 + 6x > 6$

Вычтем 5 из обеих частей неравенства:

$5 + 6x - 5 > 6 - 5$

$6x > 1$

Разделим обе части на 6. Знак неравенства не меняется (6 > 0):

$\frac{6x}{6} > \frac{1}{6}$

$x > \frac{1}{6}$

Ответ: $x \in (\frac{1}{6}; +\infty)$

г) $\frac{4x-11}{4} \le 0$

Умножим обе части неравенства на 4. Знак неравенства не меняется (4 > 0):

$\frac{4x-11}{4} \cdot 4 \le 0 \cdot 4$

$4x - 11 \le 0$

Прибавим 11 к обеим частям неравенства:

$4x - 11 + 11 \le 0 + 11$

$4x \le 11$

Разделим обе части на 4. Знак неравенства не меняется (4 > 0):

$\frac{4x}{4} \le \frac{11}{4}$

$x \le \frac{11}{4}$

Дробь $\frac{11}{4}$ можно представить в виде десятичной дроби $2,75$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{11}{4}]$

д) $\frac{1}{7}x \ge 2$

Данное неравенство эквивалентно неравенству $\frac{x}{7} \ge 2$.

Умножим обе части на 7. Так как 7 > 0, знак неравенства сохраняется:

$\frac{x}{7} \cdot 7 \ge 2 \cdot 7$

$x \ge 14$

Ответ: $x \in [14; +\infty)$

е) $\frac{2}{11}(x-4) < 3$

Умножим обе части неравенства на 11, чтобы избавиться от знаменателя. Знак не меняется, так как 11 > 0:

$\frac{2}{11}(x-4) \cdot 11 < 3 \cdot 11$

$2(x-4) < 33$

Раскроем скобки в левой части:

$2x - 8 < 33$

Прибавим 8 к обеим частям:

$2x - 8 + 8 < 33 + 8$

$2x < 41$

Разделим обе части на 2. Знак не меняется, так как 2 > 0:

$\frac{2x}{2} < \frac{41}{2}$

$x < \frac{41}{2}$

Дробь $\frac{41}{2}$ можно представить в виде десятичной дроби $20,5$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{41}{2})$