Номер 849, страница 191 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Решение неравенств с одной переменной. § 11. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 849, страница 191.

849. Решите неравенство:

а) $\frac{2x}{5} > 1;$

б) $\frac{x}{3} < 2;$

в) $\frac{6x}{7} \ge 0;$

г) $\frac{3x-1}{4} > 2;$

д) $2 > \frac{6-x}{5};$

е) $\frac{2+3x}{18} < 0;$

ж) $\frac{12-7x}{42} \ge 0;$

з) $\frac{1}{3}(x+15) > 4;$

и) $6 \le \frac{2}{7}(x+4).$

а) Исходное неравенство: $\frac{2x}{5} > 1$.
Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части неравенства на 5. Так как 5 - положительное число, знак неравенства не изменится.
$5 \cdot \frac{2x}{5} > 1 \cdot 5$
$2x > 5$
Теперь разделим обе части на 2. Так как 2 - положительное число, знак неравенства снова не изменится.
$\frac{2x}{2} > \frac{5}{2}$
$x > 2.5$
Решением неравенства является интервал $(2.5; +\infty)$.
Ответ: $x > 2.5$.

б) Исходное неравенство: $\frac{x}{3} < 2$.
Умножим обе части неравенства на 3. Знак неравенства сохранится, так как 3 > 0.
$3 \cdot \frac{x}{3} < 2 \cdot 3$
$x < 6$
Решением неравенства является интервал $(-\infty; 6)$.
Ответ: $x < 6$.

в) Исходное неравенство: $\frac{6x}{7} \geq 0$.
Умножим обе части неравенства на 7. Знак неравенства сохранится.
$7 \cdot \frac{6x}{7} \geq 0 \cdot 7$
$6x \geq 0$
Разделим обе части на 6. Знак неравенства сохранится.
$\frac{6x}{6} \geq \frac{0}{6}$
$x \geq 0$
Решением неравенства является числовой луч $[0; +\infty)$.
Ответ: $x \geq 0$.

г) Исходное неравенство: $\frac{3x - 1}{4} > 2$.
Умножим обе части на 4. Знак неравенства не изменится.
$4 \cdot \frac{3x - 1}{4} > 2 \cdot 4$
$3x - 1 > 8$
Прибавим 1 к обеим частям неравенства.
$3x - 1 + 1 > 8 + 1$
$3x > 9$
Разделим обе части на 3. Знак неравенства не изменится.
$\frac{3x}{3} > \frac{9}{3}$
$x > 3$
Решением неравенства является интервал $(3; +\infty)$.
Ответ: $x > 3$.

д) Исходное неравенство: $2 > \frac{6 - x}{5}$.
Для удобства можно переписать неравенство, поменяв местами левую и правую части и изменив знак на противоположный: $\frac{6 - x}{5} < 2$.
Умножим обе части на 5. Знак неравенства не изменится.
$5 \cdot \frac{6 - x}{5} < 2 \cdot 5$
$6 - x < 10$
Вычтем 6 из обеих частей.
$6 - x - 6 < 10 - 6$
$-x < 4$
Умножим обе части на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
$(-1) \cdot (-x) > 4 \cdot (-1)$
$x > -4$
Решением неравенства является интервал $(-4; +\infty)$.
Ответ: $x > -4$.

е) Исходное неравенство: $\frac{2 + 3x}{18} < 0$.
Умножим обе части на 18. Знак неравенства не изменится.
$18 \cdot \frac{2 + 3x}{18} < 0 \cdot 18$
$2 + 3x < 0$
Вычтем 2 из обеих частей.
$2 + 3x - 2 < 0 - 2$
$3x < -2$
Разделим обе части на 3. Знак неравенства не изменится.
$\frac{3x}{3} < \frac{-2}{3}$
$x < -\frac{2}{3}$
Решением неравенства является интервал $(-\infty; -\frac{2}{3})$.
Ответ: $x < -\frac{2}{3}$.

ж) Исходное неравенство: $\frac{12 - 7x}{42} \geq 0$.
Умножим обе части на 42. Так как 42 > 0, знак неравенства не изменится.
$42 \cdot \frac{12 - 7x}{42} \geq 0 \cdot 42$
$12 - 7x \geq 0$
Вычтем 12 из обеих частей.
$12 - 7x - 12 \geq 0 - 12$
$-7x \geq -12$
Разделим обе части на -7. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
$\frac{-7x}{-7} \leq \frac{-12}{-7}$
$x \leq \frac{12}{7}$
Можно записать в виде смешанной дроби: $x \leq 1\frac{5}{7}$.
Решением неравенства является числовой луч $(-\infty; \frac{12}{7}]$.
Ответ: $x \leq \frac{12}{7}$.

з) Исходное неравенство: $\frac{1}{3}(x + 15) > 4$.
Умножим обе части на 3. Знак неравенства не изменится.
$3 \cdot \frac{1}{3}(x + 15) > 4 \cdot 3$
$x + 15 > 12$
Вычтем 15 из обеих частей.
$x + 15 - 15 > 12 - 15$
$x > -3$
Решением неравенства является интервал $(-3; +\infty)$.
Ответ: $x > -3$.

и) Исходное неравенство: $6 \leq \frac{2}{7}(x + 4)$.
Перепишем неравенство для удобства: $\frac{2}{7}(x + 4) \geq 6$.
Чтобы избавиться от дроби $\frac{2}{7}$, умножим обе части на обратную дробь $\frac{7}{2}$. Так как $\frac{7}{2} > 0$, знак неравенства не изменится.
$\frac{7}{2} \cdot \frac{2}{7}(x + 4) \geq 6 \cdot \frac{7}{2}$
$x + 4 \geq \frac{42}{2}$
$x + 4 \geq 21$
Вычтем 4 из обеих частей.
$x + 4 - 4 \geq 21 - 4$
$x \geq 17$
Решением неравенства является числовой луч $[17; +\infty)$.
Ответ: $x \geq 17$.