Номер 848, страница 191 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Решение неравенств с одной переменной. § 11. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 848, страница 191.

848. Решите неравенство:

а) $4b(1 - 3b) - (b - 12b^2) < 43;$

б) $3y^2 - 2y - 3y(y - 6) \geq -2;$

в) $2p(5p + 2) - p(10p + 3) \leq 14;$

г) $a(a - 1) - (a^2 + a) < 34.$

а) $4b(1 - 3b) - (b - 12b^2) < 43$

Сначала раскроем скобки в левой части неравенства. При раскрытии первой скобки умножаем $4b$ на каждый член в скобке. При раскрытии второй скобки меняем знаки у каждого члена внутри, так как перед скобкой стоит знак минус.

$4b \cdot 1 - 4b \cdot 3b - b + 12b^2 < 43$

$4b - 12b^2 - b + 12b^2 < 43$

Теперь приведем подобные слагаемые. Слагаемые $-12b^2$ и $12b^2$ в сумме дают ноль и взаимно уничтожаются. Слагаемые $4b$ и $-b$ в сумме дают $3b$.

$(4b - b) + (-12b^2 + 12b^2) < 43$

$3b < 43$

Чтобы найти $b$, разделим обе части неравенства на 3. Так как 3 — положительное число, знак неравенства не меняется.

$b < \frac{43}{3}$

Можно выделить целую часть: $b < 14\frac{1}{3}$.

Ответ: $b < \frac{43}{3}$

б) $3y^2 - 2y - 3y(y - 6) \ge -2$

Раскроем скобки в левой части неравенства, умножив $-3y$ на каждый член в скобке $(y-6)$.

$3y^2 - 2y - (3y \cdot y - 3y \cdot 6) \ge -2$

$3y^2 - 2y - (3y^2 - 18y) \ge -2$

Теперь раскроем скобки, перед которыми стоит знак минус, изменив знаки слагаемых на противоположные.

$3y^2 - 2y - 3y^2 + 18y \ge -2$

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые $3y^2$ и $-3y^2$ взаимно уничтожаются. Слагаемые $-2y$ и $18y$ в сумме дают $16y$.

$(-2y + 18y) + (3y^2 - 3y^2) \ge -2$

$16y \ge -2$

Разделим обе части неравенства на 16. Знак неравенства не меняется, так как 16 — положительное число.

$y \ge \frac{-2}{16}$

Сократим дробь в правой части:

$y \ge -\frac{1}{8}$

Ответ: $y \ge -\frac{1}{8}$

в) $2p(5p + 2) - p(10p + 3) \le 14$

Раскроем скобки в левой части неравенства.

$(2p \cdot 5p + 2p \cdot 2) - (p \cdot 10p + p \cdot 3) \le 14$

$(10p^2 + 4p) - (10p^2 + 3p) \le 14$

Раскроем вторые скобки, изменив знаки слагаемых на противоположные.

$10p^2 + 4p - 10p^2 - 3p \le 14$

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые $10p^2$ и $-10p^2$ взаимно уничтожаются. Слагаемые $4p$ и $-3p$ в сумме дают $p$.

$(4p - 3p) + (10p^2 - 10p^2) \le 14$

$p \le 14$

Неравенство решено.

Ответ: $p \le 14$

г) $a(a - 1) - (a^2 + a) < 34$

Раскроем скобки в левой части неравенства.

$a \cdot a - a \cdot 1 - a^2 - a < 34$

$a^2 - a - a^2 - a < 34$

Приведем подобные слагаемые. Слагаемые $a^2$ и $-a^2$ взаимно уничтожаются. Слагаемые $-a$ и $-a$ в сумме дают $-2a$.

$(-a - a) + (a^2 - a^2) < 34$

$-2a < 34$

Разделим обе части неравенства на -2. Важно помнить, что при делении (или умножении) на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (в данном случае '<' на '>').

$a > \frac{34}{-2}$

$a > -17$

Ответ: $a > -17$