Номер 851, страница 191 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Решение неравенств с одной переменной. § 11. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 851, страница 191.

851. При каких значениях y:

а) значения дроби $\frac{7-2y}{6}$ больше соответствующих значений дроби $\frac{3y-7}{12}$;

б) значения дроби $\frac{4,5-2y}{5}$ меньше соответствующих значений дроби $\frac{2-3y}{10}$;

в) значения двучлена $5y - 1$ больше соответствующих значений дроби $\frac{3y-1}{4}$;

г) значения дроби $\frac{5-2y}{12}$ меньше соответствующих значений двучлена $1-6y$?

а)

Для того чтобы значения дроби $\frac{7-2y}{6}$ были больше соответствующих значений дроби $\frac{3y-7}{12}$, необходимо составить и решить следующее неравенство:

$\frac{7-2y}{6} > \frac{3y-7}{12}$

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части неравенства на их наименьшее общее кратное, которое равно 12.

$12 \cdot \frac{7-2y}{6} > 12 \cdot \frac{3y-7}{12}$

$2 \cdot (7-2y) > 1 \cdot (3y-7)$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$14 - 4y > 3y - 7$

Сгруппируем слагаемые с переменной $y$ в одной части, а постоянные члены — в другой. Перенесем $-4y$ вправо, а $-7$ влево, изменив их знаки:

$14 + 7 > 3y + 4y$

$21 > 7y$

Разделим обе части на 7. Так как 7 — положительное число, знак неравенства сохраняется:

$3 > y$, что эквивалентно $y < 3$.

Ответ: $y < 3$, то есть $y \in (-\infty; 3)$.

б)

Чтобы значения дроби $\frac{4,5-2y}{5}$ были меньше соответствующих значений дроби $\frac{2-3y}{10}$, составим и решим неравенство:

$\frac{4,5-2y}{5} < \frac{2-3y}{10}$

Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель, равный 10:

$10 \cdot \frac{4,5-2y}{5} < 10 \cdot \frac{2-3y}{10}$

$2 \cdot (4,5-2y) < 1 \cdot (2-3y)$

Раскроем скобки:

$9 - 4y < 2 - 3y$

Сгруппируем слагаемые: перенесем $-4y$ вправо, а 2 — влево, изменив знаки:

$9 - 2 < 4y - 3y$

$7 < y$, что эквивалентно $y > 7$.

Ответ: $y > 7$, то есть $y \in (7; +\infty)$.

в)

Чтобы значения двучлена $5y - 1$ были больше соответствующих значений дроби $\frac{3y-1}{4}$, составим и решим неравенство:

$5y - 1 > \frac{3y-1}{4}$

Умножим обе части неравенства на 4:

$4 \cdot (5y - 1) > 3y - 1$

Раскроем скобки:

$20y - 4 > 3y - 1$

Сгруппируем слагаемые: перенесем $3y$ влево, а $-4$ — вправо:

$20y - 3y > 4 - 1$

$17y > 3$

Разделим обе части на 17:

$y > \frac{3}{17}$

Ответ: $y > \frac{3}{17}$, то есть $y \in (\frac{3}{17}; +\infty)$.

г)

Чтобы значения дроби $\frac{5-2y}{12}$ были меньше соответствующих значений двучлена $1 - 6y$, составим и решим неравенство:

$\frac{5-2y}{12} < 1 - 6y$

Умножим обе части неравенства на 12:

$5-2y < 12 \cdot (1 - 6y)$

Раскроем скобки:

$5 - 2y < 12 - 72y$

Сгруппируем слагаемые: перенесем $-72y$ влево, а 5 — вправо:

$72y - 2y < 12 - 5$

$70y < 7$

Разделим обе части на 70:

$y < \frac{7}{70}$

Сократим дробь:

$y < \frac{1}{10}$

Ответ: $y < \frac{1}{10}$, то есть $y \in (-\infty; 0,1)$.