Номер 862, страница 193 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Решение неравенств с одной переменной. § 11. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 862, страница 193.

862. При каких натуральных значениях n:

а) разность $(2 - 2n) - (5n - 27)$ положительна;

б) сумма $(-27,1 + 3n) + (7,1 + 5n)$ отрицательна?

а) разность $(2 - 2n) - (5n - 27)$ положительна

Для того чтобы разность была положительной, она должна быть больше нуля. Составим и решим неравенство:

$(2 - 2n) - (5n - 27) > 0$

Сначала раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, знаки всех слагаемых внутри нее меняются на противоположные.

$2 - 2n - 5n + 27 > 0$

Теперь приведем подобные слагаемые: сгруппируем числа и слагаемые с переменной $n$.

$(2 + 27) + (-2n - 5n) > 0$

$29 - 7n > 0$

Перенесем слагаемое, содержащее $n$, в правую часть неравенства, изменив его знак:

$29 > 7n$

Чтобы найти $n$, разделим обе части неравенства на 7. Так как 7 — положительное число, знак неравенства не изменится.

$\frac{29}{7} > n$

Это то же самое, что и $n < \frac{29}{7}$.

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число, чтобы было легче определить натуральные значения $n$.

$n < 4\frac{1}{7}$

В условии задачи сказано, что $n$ — натуральное число. Натуральные числа — это целые положительные числа (1, 2, 3, ...). Нам нужно найти все натуральные числа, которые меньше $4\frac{1}{7}$.

Такими числами являются 1, 2, 3 и 4.

Ответ: при натуральных значениях $n = 1, 2, 3, 4$.

б) сумма $(-27,1 + 3n) + (7,1 + 5n)$ отрицательна

Для того чтобы сумма была отрицательной, она должна быть меньше нуля. Составим и решим соответствующее неравенство:

$(-27,1 + 3n) + (7,1 + 5n) < 0$

Раскроем скобки. Так как перед скобками стоит знак плюс (или знака нет), знаки слагаемых внутри них не меняются.

$-27,1 + 3n + 7,1 + 5n < 0$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые.

$(-27,1 + 7,1) + (3n + 5n) < 0$

$-20 + 8n < 0$

Перенесем число -20 в правую часть неравенства, изменив его знак на противоположный.

$8n < 20$

Разделим обе части неравенства на 8. Знак неравенства при этом не меняется.

$n < \frac{20}{8}$

Сократим дробь на 4 и представим в виде десятичной дроби.

$n < \frac{5}{2}$

$n < 2,5$

Согласно условию, $n$ — натуральное число. Нам нужно найти все натуральные числа, которые меньше 2,5.

Такими числами являются 1 и 2.

Ответ: при натуральных значениях $n = 1, 2$.