Номер 863, страница 193 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Решение неравенств с одной переменной. § 11. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 863, страница 193.

863. Найдите множество значений $a$, при которых уравнение

$(a + 5)x^2 + 4x - 20 = 0$

не имеет корней.

Данное уравнение $(a + 5)x^2 + 4x - 20 = 0$ является уравнением с параметром $a$. Чтобы найти, при каких значениях $a$ оно не имеет корней, необходимо рассмотреть два случая в зависимости от коэффициента при $x^2$.

1. Случай, когда уравнение является линейным.

Это происходит, если коэффициент при $x^2$ равен нулю, то есть $a + 5 = 0$.

$a = -5$

Подставим это значение $a$ в исходное уравнение:

$(-5 + 5)x^2 + 4x - 20 = 0$

$0 \cdot x^2 + 4x - 20 = 0$

$4x - 20 = 0$

$4x = 20$

$x = 5$

При $a = -5$ уравнение имеет один корень, что не соответствует условию задачи (уравнение не имеет корней).

2. Случай, когда уравнение является квадратным.

Это происходит, если коэффициент при $x^2$ не равен нулю, то есть $a + 5 \neq 0$, или $a \neq -5$.

Квадратное уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант $D$ отрицателен ($D < 0$).

Коэффициенты уравнения $ (a + 5)x^2 + 4x - 20 = 0 $ равны:

$A = a + 5$, $B = 4$, $C = -20$.

Найдем дискриминант по формуле $D = B^2 - 4AC$:

$D = 4^2 - 4 \cdot (a + 5) \cdot (-20)$

$D = 16 + 80 \cdot (a + 5)$

$D = 16 + 80a + 400$

$D = 80a + 416$

Теперь решим неравенство $D < 0$, чтобы найти значения $a$, при которых корней нет:

$80a + 416 < 0$

$80a < -416$

$a < -\frac{416}{80}$

Сократим дробь:

$a < -\frac{416 \div 16}{80 \div 16} = -\frac{26}{5}$

$a < -5.2$

Полученное множество значений $a < -5.2$ удовлетворяет условию $a \neq -5$, так как число $-5$ больше, чем $-5.2$, и не входит в этот интервал.

Объединяя результаты обоих случаев, приходим к выводу, что исходное уравнение не имеет корней при $a < -5.2$.

Ответ: $a \in (-\infty; -5.2)$.