Номер 873, страница 194 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

34. Решение неравенств с одной переменной. § 11. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 873, страница 194.

873. Моторная лодка прошла $30 \text{ км}$ по течению реки и возвратилась обратно, затратив на весь путь $5 \text{ ч } 20 \text{ мин}$. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если известно, что скорость течения реки равна $3 \text{ км/ч}$.

Пусть собственная скорость моторной лодки (скорость в стоячей воде) равна $x$ км/ч.

Скорость течения реки по условию составляет 3 км/ч.

Тогда скорость лодки по течению реки равна $(x + 3)$ км/ч, а скорость лодки против течения реки равна $(x - 3)$ км/ч.

Лодка прошла 30 км по течению и 30 км в обратном направлении. Время, затраченное на путь по течению, можно найти по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.
Время движения по течению: $t_{по} = \frac{30}{x + 3}$ часов.

Время движения против течения: $t_{против} = \frac{30}{x - 3}$ часов.

Общее время, затраченное на весь путь, составляет 5 часов 20 минут. Переведем это время в часы для удобства расчетов:
5 ч 20 мин = $5 + \frac{20}{60}$ ч = $5 + \frac{1}{3}$ ч = $\frac{15}{3} + \frac{1}{3}$ ч = $\frac{16}{3}$ часов.

Составим уравнение, зная, что общее время равно сумме времени движения по течению и против течения:
$\frac{30}{x + 3} + \frac{30}{x - 3} = \frac{16}{3}$

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $(x+3)(x-3)$:
$\frac{30(x - 3) + 30(x + 3)}{(x + 3)(x - 3)} = \frac{16}{3}$
$\frac{30x - 90 + 30x + 90}{x^2 - 9} = \frac{16}{3}$
$\frac{60x}{x^2 - 9} = \frac{16}{3}$

Используя основное свойство пропорции, получим:
$60x \cdot 3 = 16 \cdot (x^2 - 9)$
$180x = 16x^2 - 144$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$16x^2 - 180x - 144 = 0$

Разделим все члены уравнения на 4, чтобы упростить его:
$4x^2 - 45x - 36 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):
$D = (-45)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-36) = 2025 + 576 = 2601$
$\sqrt{D} = \sqrt{2601} = 51$

Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-(-45) + 51}{2 \cdot 4} = \frac{45 + 51}{8} = \frac{96}{8} = 12$
$x_2 = \frac{-(-45) - 51}{2 \cdot 4} = \frac{45 - 51}{8} = \frac{-6}{8} = -0.75$

Скорость не может быть отрицательной величиной, поэтому корень $x_2 = -0.75$ не подходит по смыслу задачи. Кроме того, собственная скорость лодки должна быть больше скорости течения ($x > 3$), чтобы она могла двигаться против течения. Решение $x=12$ удовлетворяет этому условию.
Следовательно, скорость лодки в стоячей воде составляет 12 км/ч.

Ответ: 12 км/ч.