Номер 879, страница 198 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

35. Решение систем неравенств с одной переменной. § 11. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 879, страница 198.

879. Решите систему неравенств:

a) $\begin{cases} 0,4x - 1 \le 0, \\ 2,3x \ge 4,6; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 0,7x - 2,1 < 0, \\ \frac{2}{3}x > 1; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 0,3x > 4, \\ 0,2x + 1 < 6; \end{cases}$

г) $ \begin{cases} \frac{5}{6}x - 10 \le 0, \\ 3x \le 1\frac{1}{3}. \end{cases} $

а)

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство:
$0,4x - 1 \le 0$
$0,4x \le 1$
$x \le \frac{1}{0,4}$
$x \le 2,5$

Второе неравенство:
$2,3x \ge 4,6$
$x \ge \frac{4,6}{2,3}$
$x \ge 2$

Теперь найдем пересечение полученных решений. Нам нужно найти все значения $x$, для которых одновременно выполняются условия $x \le 2,5$ и $x \ge 2$.
На числовой оси это будет промежуток, заключенный между 2 и 2,5, включая концы.
Таким образом, решение системы неравенств: $2 \le x \le 2,5$.

Ответ: $[2; 2,5]$.

б)

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство:
$0,7x - 2,1 < 0$
$0,7x < 2,1$
$x < \frac{2,1}{0,7}$
$x < 3$

Второе неравенство:
$\frac{2}{3}x > 1$
$x > 1 \cdot \frac{3}{2}$
$x > 1,5$

Найдем пересечение решений: $x < 3$ и $x > 1,5$.
Это означает, что $x$ находится в интервале между 1,5 и 3, не включая концы.
Таким образом, решение системы неравенств: $1,5 < x < 3$.

Ответ: $(1,5; 3)$.

в)

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство:
$0,3x > 4$
$x > \frac{4}{0,3}$
$x > \frac{40}{3}$
$x > 13\frac{1}{3}$

Второе неравенство:
$0,2x + 1 < 6$
$0,2x < 5$
$x < \frac{5}{0,2}$
$x < 25$

Найдем пересечение решений: $x > 13\frac{1}{3}$ и $x < 25$.
Это означает, что $x$ находится в интервале между $13\frac{1}{3}$ и 25, не включая концы.
Таким образом, решение системы неравенств: $13\frac{1}{3} < x < 25$.

Ответ: $(13\frac{1}{3}; 25)$.

г)

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство:
$\frac{5}{6}x - 10 \le 0$
$\frac{5}{6}x \le 10$
$x \le 10 \cdot \frac{6}{5}$
$x \le 12$

Второе неравенство:
$3x \le 1\frac{1}{3}$
Переведем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.
$3x \le \frac{4}{3}$
$x \le \frac{4}{3 \cdot 3}$
$x \le \frac{4}{9}$

Найдем пересечение решений: $x \le 12$ и $x \le \frac{4}{9}$.
Поскольку $\frac{4}{9} < 12$, то пересечением этих двух множеств будет более строгое условие $x \le \frac{4}{9}$.
Это соответствует числовому промежутку $(-\infty; \frac{4}{9}]$.

Ответ: $(-\infty; \frac{4}{9}]$.