Номер 876, страница 198 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

35. Решение систем неравенств с одной переменной. § 11. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 876, страница 198.

876. Решите систему неравенств:

а) $\begin{cases} x > 17, \\ x > 12; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x < 1, \\ x < 5; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x > 0, \\ x < 6; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x < -3.5, \\ x > 8; \end{cases}$

д) $\begin{cases} x \ge -1, \\ x \le 3; \end{cases}$

е) $\begin{cases} x > 8, \\ x \le 20. \end{cases}$

а)

Дана система неравенств:

$\begin{cases} x > 17 \\ x > 12 \end{cases}$

Для решения системы необходимо найти множество значений $x$, которые удовлетворяют обоим неравенствам одновременно. Первое неравенство $x > 17$ означает, что $x$ должен быть строго больше 17. Второе неравенство $x > 12$ означает, что $x$ должен быть строго больше 12.

Изобразим эти множества на числовой оси. Множество решений первого неравенства — это интервал $(17, +\infty)$. Множество решений второго неравенства — это интервал $(12, +\infty)$.

Пересечением этих двух интервалов будет множество чисел, которые больше и 12, и 17. Если число больше 17, оно автоматически больше 12. Следовательно, решением системы является более сильное (ограничивающее) неравенство $x > 17$.

Ответ: $x > 17$ или $x \in (17, +\infty)$.

б)

Дана система неравенств:

$\begin{cases} x < 1 \\ x < 5 \end{cases}$

Нужно найти значения $x$, которые одновременно меньше 1 и меньше 5. Если число меньше 1, оно автоматически будет меньше 5.

На числовой оси множество решений первого неравенства $x < 1$ — это интервал $(-\infty, 1)$. Множество решений второго неравенства $x < 5$ — это интервал $(-\infty, 5)$.

Пересечением этих двух интервалов будет интервал $(-\infty, 1)$. Таким образом, решением системы является более сильное неравенство $x < 1$.

Ответ: $x < 1$ или $x \in (-\infty, 1)$.

в)

Дана система неравенств:

$\begin{cases} x > 0 \\ x < 6 \end{cases}$

Нужно найти значения $x$, которые одновременно больше 0 и меньше 6. Это можно записать в виде двойного неравенства $0 < x < 6$.

На числовой оси множество решений первого неравенства $x > 0$ — это интервал $(0, +\infty)$. Множество решений второго неравенства $x < 6$ — это интервал $(-\infty, 6)$.

Пересечением этих двух интервалов является интервал $(0, 6)$.

Ответ: $0 < x < 6$ или $x \in (0, 6)$.

г)

Дана система неравенств:

$\begin{cases} x < -3,5 \\ x > 8 \end{cases}$

Нужно найти значения $x$, которые одновременно меньше -3,5 и больше 8. На числовой оси множество чисел, меньших -3,5, находится левее точки -3,5. Множество чисел, больших 8, находится правее точки 8.

Эти два множества не имеют общих точек, их пересечение пусто. Следовательно, не существует такого числа $x$, которое удовлетворяло бы обоим неравенствам одновременно.

Ответ: решений нет, $x \in \emptyset$.

д)

Дана система неравенств:

$\begin{cases} x \ge -1 \\ x \le 3 \end{cases}$

Нужно найти значения $x$, которые не меньше -1 и не больше 3. Это можно записать в виде двойного неравенства $-1 \le x \le 3$.

На числовой оси множество решений первого неравенства $x \ge -1$ — это луч $[-1, +\infty)$. Множество решений второго неравенства $x \le 3$ — это луч $(-\infty, 3]$.

Пересечением этих двух множеств является отрезок $[-1, 3]$.

Ответ: $-1 \le x \le 3$ или $x \in [-1, 3]$.

е)

Дана система неравенств:

$\begin{cases} x > 8 \\ x \le 20 \end{cases}$

Нужно найти значения $x$, которые строго больше 8 и не больше 20. Это можно записать в виде двойного неравенства $8 < x \le 20$.

На числовой оси множество решений первого неравенства $x > 8$ — это интервал $(8, +\infty)$. Множество решений второго неравенства $x \le 20$ — это луч $(-\infty, 20]$.

Пересечением этих двух множеств является полуинтервал $(8, 20]$.

Ответ: $8 < x \le 20$ или $x \in (8, 20]$.