Номер 883, страница 199 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

35. Решение систем неравенств с одной переменной. § 11. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 883, страница 199.

883. Укажите допустимые значения переменной:

а) $\sqrt{3-2x} + \sqrt{1-x}$;

б) $\sqrt{x} - \sqrt{3x-1}$;

в) $\sqrt{6-x} - \sqrt{3x-9}$;

г) $\sqrt{2x+2} + \sqrt{6-4x}$.

а)

Область допустимых значений переменной для выражения $\sqrt{3-2x} + \sqrt{1-x}$ находится из условия, что оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными. Это приводит к системе неравенств:

$$\begin{cases} 3 - 2x \ge 0 \\ 1 - x \ge 0\end{cases}$$

Решим первое неравенство:
$3 - 2x \ge 0$
$-2x \ge -3$
$x \le \frac{3}{2}$

Решим второе неравенство:
$1 - x \ge 0$
$-x \ge -1$
$x \le 1$

Пересечением множеств решений $x \le \frac{3}{2}$ и $x \le 1$ является множество значений $x \le 1$.

Ответ: $x \le 1$.

б)

Область допустимых значений переменной для выражения $\sqrt{x} - \sqrt{3x-1}$ находится из условия, что оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными. Это приводит к системе неравенств:

$$\begin{cases} x \ge 0 \\ 3x - 1 \ge 0\end{cases}$$

Первое неравенство $x \ge 0$ уже решено.

Решим второе неравенство:
$3x - 1 \ge 0$
$3x \ge 1$
$x \ge \frac{1}{3}$

Пересечением множеств решений $x \ge 0$ и $x \ge \frac{1}{3}$ является множество значений $x \ge \frac{1}{3}$.

Ответ: $x \ge \frac{1}{3}$.

в)

Область допустимых значений переменной для выражения $\sqrt{6-x} - \sqrt{3x-9}$ находится из условия, что оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными. Это приводит к системе неравенств:

$$\begin{cases} 6 - x \ge 0 \\ 3x - 9 \ge 0\end{cases}$$

Решим первое неравенство:
$6 - x \ge 0$
$-x \ge -6$
$x \le 6$

Решим второе неравенство:
$3x - 9 \ge 0$
$3x \ge 9$
$x \ge 3$

Пересечением множеств решений $x \le 6$ и $x \ge 3$ является множество значений $3 \le x \le 6$.

Ответ: $3 \le x \le 6$.

г)

Область допустимых значений переменной для выражения $\sqrt{2x+2} + \sqrt{6-4x}$ находится из условия, что оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными. Это приводит к системе неравенств:

$$\begin{cases} 2x + 2 \ge 0 \\ 6 - 4x \ge 0\end{cases}$$

Решим первое неравенство:
$2x + 2 \ge 0$
$2x \ge -2$
$x \ge -1$

Решим второе неравенство:
$6 - 4x \ge 0$
$-4x \ge -6$
$x \le \frac{6}{4}$
$x \le \frac{3}{2}$

Пересечением множеств решений $x \ge -1$ и $x \le \frac{3}{2}$ является множество значений $-1 \le x \le \frac{3}{2}$.

Ответ: $-1 \le x \le \frac{3}{2}$.