Номер 884, страница 199 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

35. Решение систем неравенств с одной переменной. § 11. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 884, страница 199.

884. Найдите область определения функции:

а) $y = \frac{x-2}{\sqrt{x+6}-\sqrt{2x-5}}$;

б) $y = \frac{6}{\sqrt{2x-1}-\sqrt{x+1}}$.

а) $y = \frac{x-2}{\sqrt{x+6} - \sqrt{2x-5}}$

Область определения функции находится из следующих условий:

1. Выражения под знаком квадратного корня должны быть неотрицательными.

2. Знаменатель дроби не должен равняться нулю.

Запишем эти условия в виде системы неравенств:

$\begin{cases} x+6 \ge 0 \\ 2x-5 \ge 0 \\ \sqrt{x+6} - \sqrt{2x-5} \ne 0 \end{cases}$

Решим первые два неравенства:

$x+6 \ge 0 \implies x \ge -6$

$2x-5 \ge 0 \implies 2x \ge 5 \implies x \ge 2.5$

Общим решением для этих двух неравенств является $x \ge 2.5$, то есть $x \in [2.5; +\infty)$.

Теперь решим третье условие (неравенство):

$\sqrt{x+6} - \sqrt{2x-5} \ne 0$

$\sqrt{x+6} \ne \sqrt{2x-5}$

Поскольку при $x \ge 2.5$ обе части неравенства определены и неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат:

$x+6 \ne 2x-5$

$6+5 \ne 2x-x$

$11 \ne x$

Итак, мы должны исключить значение $x=11$ из найденного ранее промежутка $[2.5; +\infty)$.

В результате получаем область определения функции:

Ответ: $x \in [2.5; 11) \cup (11; +\infty)$

б) $y = \frac{6}{\sqrt{2x-1} - \sqrt{x+1}}$

Область определения этой функции также определяется двумя условиями: неотрицательностью подкоренных выражений и неравенством знаменателя нулю.

Составим систему:

$\begin{cases} 2x-1 \ge 0 \\ x+1 \ge 0 \\ \sqrt{2x-1} - \sqrt{x+1} \ne 0 \end{cases}$

Решим первые два неравенства, чтобы найти допустимые значения для корней:

$2x-1 \ge 0 \implies 2x \ge 1 \implies x \ge 0.5$

$x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$

Пересечением этих условий является промежуток $x \ge 0.5$, или $x \in [0.5; +\infty)$.

Теперь решим условие для знаменателя:

$\sqrt{2x-1} - \sqrt{x+1} \ne 0$

$\sqrt{2x-1} \ne \sqrt{x+1}$

При $x \ge 0.5$ обе части неравенства неотрицательны, поэтому можно возвести в квадрат:

$2x-1 \ne x+1$

$2x-x \ne 1+1$

$x \ne 2$

Объединяя все условия, мы получаем, что $x$ должен быть больше или равен 0.5, но не должен быть равен 2.

Ответ: $x \in [0.5; 2) \cup (2; +\infty)$