Номер 891, страница 200 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

35. Решение систем неравенств с одной переменной. § 11. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 891, страница 200.

891. Решите систему неравенств:

а) $ \begin{cases} \frac{x-1}{2} - \frac{x-3}{3} < 2, \\ \frac{13x-1}{2} > 0; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} \frac{3x+1}{2} < -1, \\ \frac{x}{2} - 1 < x; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} 4 - \frac{y-1}{3} \ge y, \\ \frac{7y-1}{8} \ge 6; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} \frac{5a+8}{3} - a \ge 2a, \\ 1 - \frac{6-15a}{4} \ge a. \end{cases} $

а) Решим первое неравенство системы:
$\frac{x-1}{2} - \frac{x-3}{3} < 2$
Приведем дроби к общему знаменателю 6 и умножим обе части неравенства на 6:
$6 \cdot \frac{x-1}{2} - 6 \cdot \frac{x-3}{3} < 6 \cdot 2$
$3(x-1) - 2(x-3) < 12$
Раскроем скобки:
$3x - 3 - 2x + 6 < 12$
Приведем подобные слагаемые:
$x + 3 < 12$
$x < 12 - 3$
$x < 9$

Теперь решим второе неравенство системы:
$\frac{13x-1}{2} > 0$
Умножим обе части на 2:
$13x - 1 > 0$
$13x > 1$
$x > \frac{1}{13}$

Решением системы является пересечение двух полученных множеств: $x > \frac{1}{13}$ и $x < 9$.
Следовательно, решение системы: $\frac{1}{13} < x < 9$.
Ответ: $(\frac{1}{13}, 9)$.

б) Решим первое неравенство системы:
$\frac{3x+1}{2} < -1$
Умножим обе части неравенства на 2:
$3x + 1 < -2$
$3x < -2 - 1$
$3x < -3$
$x < -1$

Теперь решим второе неравенство системы:
$\frac{x}{2} - 1 < x$
Перенесем члены с $x$ в одну сторону, а константы в другую:
$-1 < x - \frac{x}{2}$
$-1 < \frac{2x-x}{2}$
$-1 < \frac{x}{2}$
Умножим обе части на 2:
$-2 < x$, или $x > -2$

Решением системы является пересечение двух полученных множеств: $x < -1$ и $x > -2$.
Следовательно, решение системы: $-2 < x < -1$.
Ответ: $(-2, -1)$.

в) Решим первое неравенство системы:
$4 - \frac{y-1}{3} \ge y$
Умножим обе части неравенства на 3, чтобы избавиться от знаменателя:
$3 \cdot 4 - (y-1) \ge 3y$
$12 - y + 1 \ge 3y$
$13 - y \ge 3y$
$13 \ge 3y + y$
$13 \ge 4y$
$y \le \frac{13}{4}$
$y \le 3.25$

Теперь решим второе неравенство системы:
$\frac{7y-1}{8} \ge 6$
Умножим обе части на 8:
$7y - 1 \ge 48$
$7y \ge 49$
$y \ge \frac{49}{7}$
$y \ge 7$

Мы получили два условия: $y \le 3.25$ и $y \ge 7$. Не существует числа, которое одновременно удовлетворяло бы обоим этим условиям. Следовательно, система не имеет решений.
Ответ: нет решений.

г) Решим первое неравенство системы:
$\frac{5a+8}{3} - a \ge 2a$
Перенесем $-a$ в правую часть:
$\frac{5a+8}{3} \ge 3a$
Умножим обе части на 3:
$5a+8 \ge 9a$
$8 \ge 9a - 5a$
$8 \ge 4a$
$2 \ge a$, или $a \le 2$

Теперь решим второе неравенство системы:
$1 - \frac{6-15a}{4} \ge a$
Умножим обе части на 4:
$4 \cdot 1 - (6-15a) \ge 4a$
$4 - 6 + 15a \ge 4a$
$-2 + 15a \ge 4a$
$15a - 4a \ge 2$
$11a \ge 2$
$a \ge \frac{2}{11}$

Решением системы является пересечение двух полученных множеств: $a \le 2$ и $a \ge \frac{2}{11}$.
Следовательно, решение системы: $\frac{2}{11} \le a \le 2$.
Ответ: $[\frac{2}{11}, 2]$.