Номер 896, страница 201 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

35. Решение систем неравенств с одной переменной. § 11. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 896, страница 201.

896. При каких значениях $a$ уравнение

$x^2 + 2ax + a^2 - 4 = 0$

имеет два корня, принадлежащие промежутку $(-6; 6)$?

Данное уравнение является квадратным относительно переменной $x$: $x^2 + 2ax + a^2 - 4 = 0$.

Для нахождения корней преобразуем левую часть уравнения, выделив полный квадрат:

$(x^2 + 2ax + a^2) - 4 = 0$

$(x + a)^2 - 4 = 0$

Перенесем 4 в правую часть и извлечем корень:

$(x + a)^2 = 4$

$x + a = \pm\sqrt{4}$

$x + a = \pm 2$

Отсюда находим два корня уравнения:

$x = -a \pm 2$

Таким образом, корнями уравнения являются $x_1 = -a - 2$ и $x_2 = -a + 2$.

Согласно условию задачи, оба корня должны принадлежать промежутку $(-6; 6)$. Это означает, что должны одновременно выполняться два условия:

$-6 < x_1 < 6$ и $-6 < x_2 < 6$.

Составим систему из двух двойных неравенств:

$\begin{cases} -6 < -a - 2 < 6 \\ -6 < -a + 2 < 6 \end{cases}$

Решим первое неравенство системы:

$-6 < -a - 2 < 6$

Прибавим 2 ко всем частям неравенства:

$-6 + 2 < -a < 6 + 2$

$-4 < -a < 8$

Умножим все части на -1, изменив при этом знаки неравенства на противоположные:

$-8 < a < 4$

Теперь решим второе неравенство системы:

$-6 < -a + 2 < 6$

Вычтем 2 из всех частей неравенства:

$-6 - 2 < -a < 6 - 2$

$-8 < -a < 4$

Умножим все части на -1, изменив знаки неравенства на противоположные:

$-4 < a < 8$

Для выполнения условия задачи необходимо, чтобы значение $a$ удовлетворяло обоим неравенствам одновременно. Найдем пересечение полученных интервалов:

$a \in (-8; 4) \cap (-4; 8)$

Пересечением этих двух интервалов является интервал $(-4; 4)$.

Ответ: $a \in (-4; 4)$.