Номер 899, страница 201 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

35. Решение систем неравенств с одной переменной. § 11. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 899, страница 201.

899. Решите систему неравенств:

a) $\begin{cases}x - 4 < 8, \\2x + 5 < 13, \\3 - x > 1;\end{cases}$

б) $\begin{cases}2x - 1 < x + 3, \\5x - 1 > 6 - 2x, \\x - 5 < 0.\end{cases}$

а)

Для решения системы необходимо решить каждое неравенство по отдельности и найти пересечение их решений.

1. Решим первое неравенство:

$x - 4 < 8$

$x < 8 + 4$

$x < 12$

2. Решим второе неравенство:

$2x + 5 < 13$

$2x < 13 - 5$

$2x < 8$

$x < 4$

3. Решим третье неравенство:

$3 - x > 1$

$-x > 1 - 3$

$-x > -2$

При умножении на -1 знак неравенства меняется на противоположный:

$x < 2$

Теперь необходимо найти общее решение для $x < 12$, $x < 4$ и $x < 2$. Решением системы будет пересечение этих трех множеств. Наиболее строгим является неравенство $x < 2$, так как любое число, меньшее 2, будет также меньше 4 и 12. Таким образом, решением системы является $x < 2$. В виде интервала это записывается как $(-\infty, 2)$.

Ответ: $(-\infty, 2)$.

б)

Решим каждое неравенство данной системы:

1. Решим первое неравенство:

$2x - 1 < x + 3$

$2x - x < 3 + 1$

$x < 4$

2. Решим второе неравенство:

$5x - 1 > 6 - 2x$

$5x + 2x > 6 + 1$

$7x > 7$

$x > 1$

3. Решим третье неравенство:

$x - 5 < 0$

$x < 5$

Теперь найдем пересечение полученных решений: $x < 4$, $x > 1$ и $x < 5$. Мы ищем значения $x$, которые удовлетворяют всем трем условиям одновременно. Условия $x < 4$ и $x < 5$ вместе означают, что должно выполняться более строгое из них, то есть $x < 4$. Следовательно, система эквивалентна следующей: $x > 1$ и $x < 4$. Это можно записать в виде двойного неравенства $1 < x < 4$. В виде интервала это записывается как $(1, 4)$.

Ответ: $(1, 4)$.