Номер 902, страница 202 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

35. Решение систем неравенств с одной переменной. § 11. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 902, страница 202.

902. Найдите все натуральные значения $n$, при которых значение дроби $\frac{9n^2 + 12n + 12}{n}$ — натуральное число.

Чтобы значение дроби было натуральным числом, необходимо, чтобы числитель $9n^2 + 12n + 12$ делился нацело на знаменатель $n$. Так как по условию $n$ — натуральное число, то есть $n \ge 1$.

Преобразуем данное выражение, разделив его почленно на $n$:

$\frac{9n^2 + 12n + 12}{n} = \frac{9n^2}{n} + \frac{12n}{n} + \frac{12}{n} = 9n + 12 + \frac{12}{n}$

Рассмотрим полученное выражение. Поскольку $n$ — натуральное число, то $9n$ также является натуральным числом. Сумма натурального числа $9n$ и натурального числа $12$ ($9n+12$) всегда будет натуральным числом.

Для того чтобы вся сумма $9n + 12 + \frac{12}{n}$ была натуральным числом, необходимо, чтобы и слагаемое $\frac{12}{n}$ было целым числом. А так как $n$ натуральное, то $\frac{12}{n}$ должно быть натуральным числом.

Это возможно только в том случае, если $n$ является натуральным делителем числа 12.

Найдем все натуральные делители числа 12. Это числа, на которые 12 делится без остатка:

$1, 2, 3, 4, 6, 12.$

Следовательно, $n$ может принимать любое из этих значений.

Ответ: $1, 2, 3, 4, 6, 12.$