Номер 900, страница 201 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

35. Решение систем неравенств с одной переменной. § 11. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 900, страница 201.

900. Решите систему неравенств:

a) $ \begin{cases} 3 - 2a < 13, \\ a - 1 > 0, \\ 5a - 35 < 0; \end{cases} $ б) $ \begin{cases} 6 - 4a < 2, \\ 6 - a > 2, \\ 3a - 1 < 8; \end{cases} $ в) $ \begin{cases} 5a - 8 > 7, \\ 4 - a < 3, \\ 2 - 3a > 10. \end{cases} $

а) Чтобы решить систему неравенств, необходимо решить каждое неравенство по отдельности и найти пересечение их решений.

$ \begin{cases} 3 - 2a < 13, \\ a - 1 > 0, \\ 5a - 35 < 0; \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $3 - 2a < 13$

Вычтем 3 из обеих частей: $-2a < 13 - 3$

$-2a < 10$

Разделим обе части на -2 и сменим знак неравенства на противоположный: $a > \frac{10}{-2}$

$a > -5$

2. Решим второе неравенство: $a - 1 > 0$

Прибавим 1 к обеим частям: $a > 1$

3. Решим третье неравенство: $5a - 35 < 0$

Прибавим 35 к обеим частям: $5a < 35$

Разделим обе части на 5: $a < \frac{35}{5}$

$a < 7$

Теперь нам нужно найти значения $a$, которые удовлетворяют всем трем условиям одновременно: $a > -5$, $a > 1$ и $a < 7$.

Из неравенств $a > -5$ и $a > 1$ следует более строгое условие $a > 1$.

Таким образом, решение системы — это пересечение $a > 1$ и $a < 7$, что можно записать в виде двойного неравенства: $1 < a < 7$.

Ответ: $a \in (1, 7)$.

б) Решим следующую систему неравенств:

$ \begin{cases} 6 - 4a < 2, \\ 6 - a > 2, \\ 3a - 1 < 8; \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $6 - 4a < 2$

Вычтем 6 из обеих частей: $-4a < 2 - 6$

$-4a < -4$

Разделим обе части на -4 и сменим знак неравенства: $a > \frac{-4}{-4}$

$a > 1$

2. Решим второе неравенство: $6 - a > 2$

Вычтем 6 из обеих частей: $-a > 2 - 6$

$-a > -4$

Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства: $a < 4$

3. Решим третье неравенство: $3a - 1 < 8$

Прибавим 1 к обеим частям: $3a < 8 + 1$

$3a < 9$

Разделим обе части на 3: $a < \frac{9}{3}$

$a < 3$

Найдем пересечение решений: $a > 1$, $a < 4$ и $a < 3$.

Из неравенств $a < 4$ и $a < 3$ следует более строгое условие $a < 3$.

Следовательно, решение системы — это пересечение $a > 1$ и $a < 3$, что можно записать как $1 < a < 3$.

Ответ: $a \in (1, 3)$.

в) Решим последнюю систему неравенств:

$ \begin{cases} 5a - 8 > 7, \\ 4 - a < 3, \\ 2 - 3a > 10; \end{cases} $

1. Решим первое неравенство: $5a - 8 > 7$

Прибавим 8 к обеим частям: $5a > 7 + 8$

$5a > 15$

Разделим обе части на 5: $a > \frac{15}{5}$

$a > 3$

2. Решим второе неравенство: $4 - a < 3$

Вычтем 4 из обеих частей: $-a < 3 - 4$

$-a < -1$

Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства: $a > 1$

3. Решим третье неравенство: $2 - 3a > 10$

Вычтем 2 из обеих частей: $-3a > 10 - 2$

$-3a > 8$

Разделим обе части на -3 и сменим знак неравенства: $a < \frac{8}{-3}$

$a < -\frac{8}{3}$

Найдем пересечение решений: $a > 3$, $a > 1$ и $a < -\frac{8}{3}$.

Из неравенств $a > 3$ и $a > 1$ следует более строгое условие $a > 3$.

Теперь нам нужно найти значения $a$, которые удовлетворяют одновременно условиям $a > 3$ и $a < -\frac{8}{3}$.

Поскольку $3$ больше, чем $-\frac{8}{3}$ (или $-2\frac{2}{3}$), не существует числа, которое было бы одновременно больше 3 и меньше $-\frac{8}{3}$. Пересечение этих множеств пусто.

Ответ: решений нет.