Номер 901, страница 202 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

35. Решение систем неравенств с одной переменной. § 11. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 901, страница 202.

901. Укажите допустимые значения переменной:

а) $\frac{\sqrt{12-25x}}{6}$;

б) $\frac{1}{\sqrt{5x-11}};$

в) $\frac{4x}{\sqrt{(3x-2)^2}}$.

а)

Допустимые значения переменной для выражения $\frac{\sqrt{12 - 25x}}{6}$ определяются условием, при котором подкоренное выражение неотрицательно, так как извлечь квадратный корень можно только из неотрицательного числа. Знаменатель является константой (6) и не равен нулю, поэтому на него ограничений нет.

Составим и решим неравенство:

$12 - 25x \geq 0$

Перенесем слагаемое с переменной в правую часть:

$12 \geq 25x$

Разделим обе части неравенства на 25:

$\frac{12}{25} \geq x$

Это равносильно записи:

$x \leq \frac{12}{25}$

Таким образом, допустимыми значениями переменной являются все числа, не большие $\frac{12}{25}$.

Ответ: $x \leq \frac{12}{25}$.

б)

Для выражения $\frac{1}{\sqrt{5x - 11}}$ необходимо выполнение двух условий:

1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $5x - 11 \geq 0$.

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $\sqrt{5x - 11} \neq 0$.

Эти два условия можно объединить в одно строгое неравенство, так как если подкоренное выражение будет строго больше нуля, оба условия выполнятся.

$5x - 11 > 0$

Перенесем -11 в правую часть с противоположным знаком:

$5x > 11$

Разделим обе части на 5:

$x > \frac{11}{5}$

Допустимыми значениями переменной являются все числа, строго большие $\frac{11}{5}$.

Ответ: $x > \frac{11}{5}$.

в)

В выражении $\frac{4x}{\sqrt{(3x - 2)^2}}$ переменная находится в знаменателе, который содержит корень.

Подкоренное выражение $(3x - 2)^2$ всегда неотрицательно, так как является квадратом действительного числа, то есть $(3x - 2)^2 \geq 0$ для любого $x$.

Единственное ограничение состоит в том, что знаменатель не должен равняться нулю.

$\sqrt{(3x - 2)^2} \neq 0$

Возведем обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(3x - 2)^2 \neq 0$

Это возможно только тогда, когда выражение в скобках не равно нулю:

$3x - 2 \neq 0$

Решим это уравнение:

$3x \neq 2$

$x \neq \frac{2}{3}$

Следовательно, допустимыми являются любые значения переменной $x$, кроме $x = \frac{2}{3}$.

Ответ: $x \neq \frac{2}{3}$.