Номер 894, страница 201 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

35. Решение систем неравенств с одной переменной. § 11. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 894, страница 201.

894. Решите двойное неравенство:

a) $-1 \le 15x + 14 < 44;$

б) $-1 \le \frac{6-a}{3} \le 1;$

в) $-1,2 < 1 - 2y < 2,4;$

г) $-2 < \frac{4x-1}{3} \le 0.$

а)

Дано двойное неравенство: $-1 \le 15x + 14 < 44$.

Чтобы найти решение, нужно изолировать $x$ в середине. Сначала вычтем 14 из всех трех частей неравенства:

$-1 - 14 \le 15x + 14 - 14 < 44 - 14$

$-15 \le 15x < 30$

Теперь разделим все три части неравенства на 15. Так как 15 — положительное число, знаки неравенства не меняются:

$\frac{-15}{15} \le \frac{15x}{15} < \frac{30}{15}$

$-1 \le x < 2$

Решение можно записать в виде промежутка. Знак $\le$ означает, что число -1 включается в промежуток (квадратная скобка), а знак < означает, что число 2 не включается (круглая скобка).

Ответ: $x \in [-1, 2)$.

б)

Дано двойное неравенство: $-1 \le \frac{6-a}{3} \le 1$.

Сначала умножим все три части неравенства на 3, чтобы избавиться от знаменателя. Так как 3 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:

$-1 \cdot 3 \le \frac{6-a}{3} \cdot 3 \le 1 \cdot 3$

$-3 \le 6 - a \le 3$

Далее вычтем 6 из всех частей неравенства, чтобы изолировать член с переменной $a$:

$-3 - 6 \le 6 - a - 6 \le 3 - 6$

$-9 \le -a \le -3$

Теперь умножим все части на -1, чтобы получить $a$. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$-9 \cdot (-1) \ge -a \cdot (-1) \ge -3 \cdot (-1)$

$9 \ge a \ge 3$

Запишем неравенство в более привычном виде, от меньшего числа к большему:

$3 \le a \le 9$

Ответ: $a \in [3, 9]$.

в)

Дано двойное неравенство: $-1,2 < 1 - 2y < 2,4$.

Вычтем 1 из всех частей неравенства:

$-1,2 - 1 < 1 - 2y - 1 < 2,4 - 1$

$-2,2 < -2y < 1,4$

Теперь разделим все части на -2. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$\frac{-2,2}{-2} > \frac{-2y}{-2} > \frac{1,4}{-2}$

$1,1 > y > -0,7$

Запишем неравенство в стандартном виде (от меньшего к большему):

$-0,7 < y < 1,1$

Ответ: $y \in (-0,7; 1,1)$.

г)

Дано двойное неравенство: $-2 < \frac{4x-1}{3} \le 0$.

Умножим все части неравенства на 3, чтобы убрать знаменатель:

$-2 \cdot 3 < \frac{4x-1}{3} \cdot 3 \le 0 \cdot 3$

$-6 < 4x - 1 \le 0$

Теперь прибавим 1 ко всем частям неравенства:

$-6 + 1 < 4x - 1 + 1 \le 0 + 1$

$-5 < 4x \le 1$

Наконец, разделим все части на 4. Так как 4 — положительное число, знаки неравенства не меняются:

$\frac{-5}{4} < \frac{4x}{4} \le \frac{1}{4}$

$-1,25 < x \le 0,25$

Решение в виде промежутка. Знак < означает, что число -1,25 не включается (круглая скобка), а знак $\le$ означает, что число 0,25 включается (квадратная скобка).

Ответ: $x \in (-1,25; 0,25]$.