Номер 893, страница 201 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

35. Решение систем неравенств с одной переменной. § 11. Неравенства с одной переменной и их системы. Глава 4. Неравенства - номер 893, страница 201.

893. Решите двойное неравенство и укажите три числа, являющиеся его решениями:

а) $-6,5 < \frac{7x+6}{2} \leq 20,5$;

б) $-1 < \frac{4-a}{3} \leq 5$;

в) $-2 \leq \frac{3x-1}{8} \leq 0$;

г) $-2,5 \leq \frac{1-3y}{2} < 1,5$.

а) Дано двойное неравенство:
$ -6,5 < \frac{7x+6}{2} \le 20,5 $
Чтобы избавиться от дроби, умножим все три части неравенства на 2:
$ -6,5 \cdot 2 < (7x+6) \le 20,5 \cdot 2 $
$ -13 < 7x+6 \le 41 $
Теперь вычтем 6 из всех частей, чтобы изолировать слагаемое с переменной $x$:
$ -13 - 6 < 7x \le 41 - 6 $
$ -19 < 7x \le 35 $
Наконец, разделим все части на 7, чтобы найти $x$:
$ -\frac{19}{7} < x \le \frac{35}{7} $
$ -2\frac{5}{7} < x \le 5 $
Решением является полуинтервал $(-2\frac{5}{7}; 5]$.
Примеры трех чисел из этого промежутка: 0, 2, 5.
Ответ: Решением неравенства является промежуток $(-2\frac{5}{7}; 5]$. Три числа, являющиеся его решениями: 0, 2, 5.

б) Дано двойное неравенство:
$ -1 < \frac{4-a}{3} \le 5 $
Умножим все части неравенства на 3:
$ -1 \cdot 3 < 4-a \le 5 \cdot 3 $
$ -3 < 4-a \le 15 $
Вычтем 4 из всех частей:
$ -3 - 4 < -a \le 15 - 4 $
$ -7 < -a \le 11 $
Умножим все части на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$ 7 > a \ge -11 $
Запишем неравенство в более привычном виде, от меньшего числа к большему:
$ -11 \le a < 7 $
Решением является полуинтервал $[-11; 7)$.
Примеры трех чисел из этого промежутка: -11, 0, 6.
Ответ: Решением неравенства является промежуток $[-11; 7)$. Три числа, являющиеся его решениями: -11, 0, 6.

в) Дано двойное неравенство:
$ -2 \le \frac{3x-1}{8} \le 0 $
Умножим все части неравенства на 8:
$ -2 \cdot 8 \le 3x-1 \le 0 \cdot 8 $
$ -16 \le 3x-1 \le 0 $
Прибавим 1 ко всем частям:
$ -16 + 1 \le 3x \le 0 + 1 $
$ -15 \le 3x \le 1 $
Разделим все части на 3:
$ \frac{-15}{3} \le x \le \frac{1}{3} $
$ -5 \le x \le \frac{1}{3} $
Решением является отрезок $[-5; \frac{1}{3}]$.
Примеры трех чисел из этого промежутка: -5, 0, $\frac{1}{3}$.
Ответ: Решением неравенства является промежуток $[-5; \frac{1}{3}]$. Три числа, являющиеся его решениями: -5, 0, $\frac{1}{3}$.

г) Дано двойное неравенство:
$ -2,5 \le \frac{1-3y}{2} < 1,5 $
Умножим все части неравенства на 2:
$ -2,5 \cdot 2 \le 1-3y < 1,5 \cdot 2 $
$ -5 \le 1-3y < 3 $
Вычтем 1 из всех частей:
$ -5 - 1 \le -3y < 3 - 1 $
$ -6 \le -3y < 2 $
Разделим все части на -3, меняя знаки неравенства на противоположные:
$ \frac{-6}{-3} \ge y > \frac{2}{-3} $
$ 2 \ge y > -\frac{2}{3} $
Запишем неравенство в стандартном виде:
$ -\frac{2}{3} < y \le 2 $
Решением является полуинтервал $(-\frac{2}{3}; 2]$.
Примеры трех чисел из этого промежутка: 0, 1, 2.
Ответ: Решением неравенства является промежуток $(-\frac{2}{3}; 2]$. Три числа, являющиеся его решениями: 0, 1, 2.