Номер 960, страница 212 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 11. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Неравенства - номер 960, страница 212.

960. При каких значениях a уравнение

$x^2 - 4ax + 4a^2 - 25 = 0$

имеет два корня, каждый из которых больше 2?

Данное уравнение $x^2 - 4ax + 4a^2 - 25 = 0$ является квадратным относительно переменной $x$. Для нахождения значений параметра $a$, при которых оба корня больше 2, можно сначала найти сами корни.

Заметим, что левую часть уравнения можно преобразовать, выделив полный квадрат:

$(x^2 - 4ax + 4a^2) - 25 = 0$

$(x - 2a)^2 - 25 = 0$

Перенесем 25 в правую часть и извлечем корень:

$(x - 2a)^2 = 25$

$x - 2a = \pm\sqrt{25}$

$x - 2a = \pm5$

Отсюда выразим два корня уравнения:

$x_1 = 2a - 5$

$x_2 = 2a + 5$

По условию задачи, каждый из корней должен быть больше 2. Это приводит к системе из двух неравенств:

$\begin{cases} x_1 > 2 \\ x_2 > 2 \end{cases}$

Подставим найденные выражения для корней в эту систему:

$\begin{cases} 2a - 5 > 2 \\ 2a + 5 > 2 \end{cases}$

Теперь решим эту систему неравенств относительно $a$:

$\begin{cases} 2a > 7 \\ 2a > -3 \end{cases}$

$\begin{cases} a > \frac{7}{2} \\ a > -\frac{3}{2} \end{cases}$

$\begin{cases} a > 3.5 \\ a > -1.5 \end{cases}$

Оба неравенства должны выполняться одновременно. Если $a > 3.5$, то условие $a > -1.5$ выполняется автоматически. Следовательно, решением системы является $a > 3.5$.

Таким образом, при $a > 3.5$ оба корня исходного уравнения будут больше 2.

Ответ: $a \in (3.5; +\infty)$.