Номер 958, страница 212 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 11. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Неравенства - номер 958, страница 212.

958. Найдите положительные значения y, удовлетворяющие системе неравенств:

a) $ \begin{cases} 3(y - 1) - 4(y + 8) < 5(y + 5) \\ 1,2(1 + 5y) - 0,2 < 5(1 - 3y) - 3y \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 15(y - 4) - 14(y - 3) < y(y - 9) - y^2 \\ \frac{5 - y}{3} - y > 14 - \frac{2 - y}{6} \end{cases} $

в) $ \begin{cases} (2y - 1)(3y + 2) - 6y(y - 4) < 48 \\ \frac{y - 1}{8} - \frac{6y + 1}{4} - 1 < 0 \end{cases} $

a)

Решим первое неравенство системы:

$3(y - 1) - 4(y + 8) < 5(y + 5)$

$3y - 3 - 4y - 32 < 5y + 25$

$-y - 35 < 5y + 25$

$-35 - 25 < 5y + y$

$-60 < 6y$

$y > -10$

Теперь решим второе неравенство системы:

$1.2(1 + 5y) - 0.2 < 5(1 - 3y) - 3y$

$1.2 + 6y - 0.2 < 5 - 15y - 3y$

$1 + 6y < 5 - 18y$

$6y + 18y < 5 - 1$

$24y < 4$

$y < \frac{4}{24}$

$y < \frac{1}{6}$

Решением системы является пересечение полученных множеств: $y > -10$ и $y < \frac{1}{6}$, что соответствует интервалу $y \in (-10; \frac{1}{6})$.

По условию задачи, мы ищем положительные значения $y$, то есть $y > 0$.

Найдём пересечение решения системы с условием $y > 0$: $y \in (-10; \frac{1}{6}) \cap (0; +\infty)$.

Следовательно, искомые положительные значения $y$ принадлежат интервалу $(0; \frac{1}{6})$.

Ответ: $y \in (0; \frac{1}{6})$

б)

Решим первое неравенство системы:

$15(y - 4) - 14(y - 3) < y(y - 9) - y^2$

$15y - 60 - 14y + 42 < y^2 - 9y - y^2$

$y - 18 < -9y$

$y + 9y < 18$

$10y < 18$

$y < 1.8$

Теперь решим второе неравенство системы:

$\frac{5-y}{3} - y > 14 - \frac{2-y}{6}$

Умножим обе части на общий знаменатель 6:

$6 \cdot \frac{5-y}{3} - 6 \cdot y > 6 \cdot 14 - 6 \cdot \frac{2-y}{6}$

$2(5-y) - 6y > 84 - (2-y)$

$10 - 2y - 6y > 84 - 2 + y$

$10 - 8y > 82 + y$

$10 - 82 > y + 8y$

$-72 > 9y$

$y < -8$

Решением системы является пересечение полученных множеств: $y < 1.8$ и $y < -8$. Пересечением этих условий является $y < -8$.

По условию задачи, мы ищем положительные значения $y$. Множество решений $y \in (-\infty; -8)$ не содержит положительных чисел.

Ответ: Положительных решений нет.

в)

Решим первое неравенство системы:

$(2y - 1)(3y + 2) - 6y(y - 4) < 48$

$6y^2 + 4y - 3y - 2 - (6y^2 - 24y) < 48$

$6y^2 + y - 2 - 6y^2 + 24y < 48$

$25y - 2 < 48$

$25y < 50$

$y < 2$

Теперь решим второе неравенство системы:

$\frac{y - 1}{8} - \frac{6y + 1}{4} - 1 < 0$

Умножим обе части на общий знаменатель 8:

$8 \cdot \frac{y - 1}{8} - 8 \cdot \frac{6y + 1}{4} - 8 \cdot 1 < 0$

$(y - 1) - 2(6y + 1) - 8 < 0$

$y - 1 - 12y - 2 - 8 < 0$

$-11y - 11 < 0$

$-11y < 11$

$y > -1$ (знак неравенства изменился, так как мы разделили на отрицательное число -11)

Решением системы является пересечение полученных множеств: $y < 2$ и $y > -1$, что соответствует интервалу $y \in (-1; 2)$.

По условию задачи, мы ищем положительные значения $y$, то есть $y > 0$.

Найдём пересечение решения системы с условием $y > 0$: $y \in (-1; 2) \cap (0; +\infty)$.

Следовательно, искомые положительные значения $y$ принадлежат интервалу $(0; 2)$.

Ответ: $y \in (0; 2)$