Номер 957, страница 211 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

К параграфу 11. Дополнительные упражнения к главе IV. Глава 4. Неравенства - номер 957, страница 211.

957. a) При каких $x$ значение выражения $2x - 4$ принадлежит интервалу $(-1; 5)$?

б) При каких $x$ значение дроби $\frac{x-5}{2}$ принадлежит числовому отрезку $[0; 5]$?

в) При каких $x$ значения функции $y = -\frac{1}{3}x + 8$ принадлежат интервалу $(-1; 1)$?

г) При каких $x$ значения функции $y = -2,5x + 6$ принадлежат числовому отрезку $[-6; -2]$?

а) Чтобы найти значения $x$, при которых выражение $2x - 4$ принадлежит интервалу $(-1; 5)$, необходимо решить двойное неравенство:

$-1 < 2x - 4 < 5$

Сначала прибавим 4 ко всем частям неравенства:

$-1 + 4 < 2x - 4 + 4 < 5 + 4$

$3 < 2x < 9$

Затем разделим все части неравенства на 2:

$\frac{3}{2} < x < \frac{9}{2}$

$1,5 < x < 4,5$

Таким образом, искомые значения $x$ принадлежат интервалу $(1,5; 4,5)$.

Ответ: $x \in (1,5; 4,5)$.

б) Условие, что значение дроби $\frac{x-5}{2}$ принадлежит числовому отрезку $[0; 5]$, записывается в виде двойного неравенства:

$0 \le \frac{x-5}{2} \le 5$

Умножим все части неравенства на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

$0 \cdot 2 \le x - 5 \le 5 \cdot 2$

$0 \le x - 5 \le 10$

Прибавим 5 ко всем частям неравенства:

$0 + 5 \le x - 5 + 5 \le 10 + 5$

$5 \le x \le 15$

Следовательно, $x$ должен принадлежать отрезку $[5; 15]$.

Ответ: $x \in [5; 15]$.

в) Нам нужно найти такие значения $x$, при которых значения функции $y = -\frac{1}{3}x + 8$ принадлежат интервалу $(-1; 1)$. Это означает, что $y$ должен удовлетворять неравенству $-1 < y < 1$. Подставим выражение для $y$:

$-1 < -\frac{1}{3}x + 8 < 1$

Вычтем 8 из всех частей неравенства:

$-1 - 8 < -\frac{1}{3}x < 1 - 8$

$-9 < -\frac{1}{3}x < -7$

Умножим все части на -3. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$-9 \cdot (-3) > x > -7 \cdot (-3)$

$27 > x > 21$

Запишем результат в стандартном виде (от меньшего к большему):

$21 < x < 27$

Следовательно, $x$ должен принадлежать интервалу $(21; 27)$.

Ответ: $x \in (21; 27)$.

г) Требуется найти значения $x$, для которых значения функции $y = -2,5x + 6$ принадлежат числовому отрезку $[-6; -2]$. Запишем это как двойное неравенство для $y$: $-6 \le y \le -2$. Подставим выражение для $y$:

$-6 \le -2,5x + 6 \le -2$

Вычтем 6 из всех частей неравенства:

$-6 - 6 \le -2,5x \le -2 - 6$

$-12 \le -2,5x \le -8$

Разделим все части на -2,5. Так как мы делим на отрицательное число, знаки неравенства изменятся на противоположные:

$\frac{-12}{-2,5} \ge x \ge \frac{-8}{-2,5}$

$4,8 \ge x \ge 3,2$

Запишем результат в стандартном виде:

$3,2 \le x \le 4,8$

Следовательно, $x$ должен принадлежать отрезку $[3,2; 4,8]$.

Ответ: $x \in [3,2; 4,8]$.