Номер 972, страница 216 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

37. Определение степени с цельным отрицательным показателем. § 12. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 972, страница 216.

972. Верно ли, что:

а) если $a > 0$ и $n$ — целое число, то $a^n > 0$;

б) если $a < 0$ и $n$ — чётное отрицательное число, то $a^n > 0$;

в) если $a < 0$ и $n$ — нечётное отрицательное число, то $a^n < 0?

а) если a > 0 и n — целое число, то aⁿ > 0;
Данное утверждение верно. Чтобы это доказать, рассмотрим все возможные значения целого числа $n$:
1. Если $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$), то есть $n > 0$, то $a^n$ — это произведение $n$ положительных чисел $a$. Произведение положительных чисел всегда положительно, поэтому $a^n > 0$.
2. Если $n = 0$, то по определению степени с нулевым показателем, $a^0 = 1$ для любого $a \neq 0$. Поскольку по условию $a > 0$, это выполняется, и $a^0 = 1 > 0$.
3. Если $n$ — целое отрицательное число, то его можно представить как $n = -m$, где $m$ — натуральное число. Тогда по определению степени с отрицательным показателем: $a^n = a^{-m} = \frac{1}{a^m}$. Так как $a > 0$ и $m$ — натуральное число, из пункта 1 мы знаем, что знаменатель $a^m > 0$. Число, обратное положительному числу, также положительно. Следовательно, $a^n > 0$.
Таким образом, для любого целого $n$ при $a > 0$ выполняется неравенство $a^n > 0$.
Ответ: да, верно.

б) если a < 0 и n — чётное отрицательное число, то aⁿ > 0;
Данное утверждение верно. Пусть $a < 0$, а $n$ — чётное отрицательное число. Это означает, что $n$ можно представить в виде $n = -m$, где $m$ — чётное натуральное число (например, $m = 2, 4, 6, \dots$).
Выражение $a^n$ можно записать как $a^{-m} = \frac{1}{a^m}$.
Рассмотрим знаменатель $a^m$. Основание степени $a$ отрицательно, а показатель $m$ — чётное натуральное число. При возведении отрицательного числа в чётную степень результат всегда положителен. Это происходит потому, что отрицательные сомножители можно сгруппировать по парам, и произведение в каждой паре будет положительным: $a^m = a^{2k} = (a^2)^k$, где $m=2k$. Так как $a<0$, то $a^2 > 0$, и любая натуральная степень $k$ положительного числа $a^2$ также будет положительна. Таким образом, $a^m > 0$.
Поскольку знаменатель $a^m$ положителен, то и вся дробь $\frac{1}{a^m}$ будет положительной. Следовательно, $a^n > 0$.
Ответ: да, верно.

в) если a < 0 и n — нечётное отрицательное число, то aⁿ < 0?
Данное утверждение верно. Пусть $a < 0$, а $n$ — нечётное отрицательное число. Это означает, что $n$ можно представить в виде $n = -m$, где $m$ — нечётное натуральное число (например, $m = 1, 3, 5, \dots$).
Выражение $a^n$ можно записать как $a^{-m} = \frac{1}{a^m}$.
Рассмотрим знаменатель $a^m$. Основание степени $a$ отрицательно, а показатель $m$ — нечётное натуральное число. При возведении отрицательного числа в нечётную степень результат всегда отрицателен. Это происходит потому, что после группировки сомножителей по парам (каждая из которых дает положительный результат) останется один отрицательный сомножитель $a$. Например, $a^3=a^2 \cdot a$. Так как $a^2>0$ и $a<0$, их произведение будет отрицательным. В общем случае, $a^m < 0$.
Поскольку знаменатель $a^m$ отрицателен, то и вся дробь $\frac{1}{a^m}$ будет отрицательной. Следовательно, $a^n < 0$.
Ответ: да, верно.