Номер 976, страница 216 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

37. Определение степени с цельным отрицательным показателем. § 12. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 976, страница 216.

976. Найдите значение выражения:

а) $8 \cdot 4^{-3}$;

б) $-2 \cdot 10^{5}$;

в) $18 \cdot (-9)^{-1}$;

г) $10 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right)^{-1}$;

д) $3^{-2} + 4^{-1}$;

е) $2^{-3} - (-2)^{-4}$;

ж) $0,5^{-2} + \left(\frac{1}{3}\right)^{-1}$;

з) $0,3^{0} + 0,1^{-4}$.

а) Чтобы найти значение выражения $8 \cdot 4^{-3}$, воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
$4^{-3} = \frac{1}{4^3} = \frac{1}{4 \cdot 4 \cdot 4} = \frac{1}{64}$.
Теперь умножим 8 на полученный результат:
$8 \cdot \frac{1}{64} = \frac{8}{64}$.
Сократим дробь на 8:
$\frac{8}{64} = \frac{1}{8}$.
Другой способ — представить числа как степени двойки: $8=2^3$, $4=2^2$.
$8 \cdot 4^{-3} = 2^3 \cdot (2^2)^{-3} = 2^3 \cdot 2^{2 \cdot (-3)} = 2^3 \cdot 2^{-6} = 2^{3-6} = 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.
Ответ: $\frac{1}{8}$.

б) Чтобы найти значение выражения $-2 \cdot 10^5$, нужно возвести 10 в 5-ю степень и умножить на -2.
$10^5 = 100000$.
$-2 \cdot 100000 = -200000$.
Ответ: -200000.

в) Чтобы найти значение выражения $18 \cdot (-9)^{-1}$, используем свойство $a^{-1} = \frac{1}{a}$.
$(-9)^{-1} = \frac{1}{-9} = -\frac{1}{9}$.
Теперь выполним умножение:
$18 \cdot (-\frac{1}{9}) = -\frac{18}{9} = -2$.
Ответ: -2.

г) Чтобы найти значение выражения $10 \cdot (-\frac{1}{5})^{-1}$, воспользуемся свойством $(\frac{a}{b})^{-1} = \frac{b}{a}$.
$(-\frac{1}{5})^{-1} = -\frac{5}{1} = -5$.
Теперь выполним умножение:
$10 \cdot (-5) = -50$.
Ответ: -50.

д) Чтобы найти значение выражения $3^{-2} + 4^{-1}$, вычислим каждое слагаемое отдельно.
$3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.
$4^{-1} = \frac{1}{4}$.
Теперь сложим полученные дроби, приведя их к общему знаменателю 36:
$\frac{1}{9} + \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4}{9 \cdot 4} + \frac{1 \cdot 9}{4 \cdot 9} = \frac{4}{36} + \frac{9}{36} = \frac{4+9}{36} = \frac{13}{36}$.
Ответ: $\frac{13}{36}$.

е) Чтобы найти значение выражения $2^{-3} - (-2)^{-4}$, вычислим каждое слагаемое отдельно.
$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.
$(-2)^{-4} = \frac{1}{(-2)^4} = \frac{1}{16}$ (так как степень четная, результат положительный).
Теперь выполним вычитание, приведя дроби к общему знаменателю 16:
$\frac{1}{8} - \frac{1}{16} = \frac{2}{16} - \frac{1}{16} = \frac{2-1}{16} = \frac{1}{16}$.
Ответ: $\frac{1}{16}$.

ж) Чтобы найти значение выражения $0,5^{-2} + (\frac{1}{3})^{-1}$, преобразуем десятичную дробь в обыкновенную и вычислим каждое слагаемое.
$0,5 = \frac{1}{2}$.
$0,5^{-2} = (\frac{1}{2})^{-2} = (\frac{2}{1})^2 = 2^2 = 4$.
$(\frac{1}{3})^{-1} = \frac{3}{1} = 3$.
Теперь сложим полученные значения:
$4 + 3 = 7$.
Ответ: 7.

з) Чтобы найти значение выражения $0,3^0 + 0,1^{-4}$, вычислим каждое слагаемое.
Любое ненулевое число в нулевой степени равно 1, поэтому $0,3^0 = 1$.
Преобразуем $0,1$ в дробь: $0,1 = \frac{1}{10}$.
$0,1^{-4} = (\frac{1}{10})^{-4} = (\frac{10}{1})^4 = 10^4 = 10000$.
Теперь сложим результаты:
$1 + 10000 = 10001$.
Ответ: 10001.