Номер 980, страница 217 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

37. Определение степени с цельным отрицательным показателем. § 12. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 980, страница 217.

980. Представьте в виде дроби выражение:

а) $a^{-2} + b^{-2};$

б) $xy^{-1} + xy^{-2};$

в) $(a + b^{-1})(a^{-1} - b);$

г) $(x - 2y^{-1})(x^{-1} + 2y).$

а) $a^{-2} + b^{-2}$

По определению степени с отрицательным показателем $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$. Применим это правило к нашему выражению:

$a^{-2} + b^{-2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}$

Чтобы сложить две дроби, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей $\frac{1}{a^2}$ и $\frac{1}{b^2}$ равен $a^2b^2$.

$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1 \cdot b^2}{a^2 \cdot b^2} + \frac{1 \cdot a^2}{b^2 \cdot a^2} = \frac{b^2}{a^2b^2} + \frac{a^2}{a^2b^2} = \frac{b^2 + a^2}{a^2b^2}$

Ответ: $\frac{a^2 + b^2}{a^2b^2}$

б) $xy^{-1} + xy^{-2}$

Используем правило степени с отрицательным показателем $y^{-n} = \frac{1}{y^n}$:

$xy^{-1} + xy^{-2} = x \cdot \frac{1}{y} + x \cdot \frac{1}{y^2} = \frac{x}{y} + \frac{x}{y^2}$

Приведем дроби к общему знаменателю $y^2$:

$\frac{x}{y} + \frac{x}{y^2} = \frac{x \cdot y}{y \cdot y} + \frac{x}{y^2} = \frac{xy}{y^2} + \frac{x}{y^2} = \frac{xy + x}{y^2}$

В числителе можно вынести общий множитель $x$ за скобки:

$\frac{x(y + 1)}{y^2}$

Ответ: $\frac{x(y + 1)}{y^2}$

в) $(a + b^{-1})(a^{-1} - b)$

Сначала преобразуем выражения в скобках, используя правило $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$:

$a + b^{-1} = a + \frac{1}{b} = \frac{ab}{b} + \frac{1}{b} = \frac{ab + 1}{b}$

$a^{-1} - b = \frac{1}{a} - b = \frac{1}{a} - \frac{ab}{a} = \frac{1 - ab}{a}$

Теперь перемножим полученные дроби:

$(\frac{ab + 1}{b}) \cdot (\frac{1 - ab}{a}) = \frac{(ab + 1)(1 - ab)}{ba}$

В числителе используем формулу разности квадратов $(x+y)(y-x) = y^2 - x^2$. В нашем случае $(1 + ab)(1 - ab)$ соответствует этой формуле, где $y=1$ и $x=ab$:

$(1 + ab)(1 - ab) = 1^2 - (ab)^2 = 1 - a^2b^2$

Таким образом, получаем дробь:

$\frac{1 - a^2b^2}{ab}$

Ответ: $\frac{1 - a^2b^2}{ab}$

г) $(x - 2y^{-1})(x^{-1} + 2y)$

Преобразуем выражения в скобках, избавляясь от отрицательных степеней:

$x - 2y^{-1} = x - \frac{2}{y} = \frac{xy}{y} - \frac{2}{y} = \frac{xy - 2}{y}$

$x^{-1} + 2y = \frac{1}{x} + 2y = \frac{1}{x} + \frac{2yx}{x} = \frac{1 + 2xy}{x}$

Перемножим полученные дроби:

$(\frac{xy - 2}{y}) \cdot (\frac{1 + 2xy}{x}) = \frac{(xy - 2)(1 + 2xy)}{yx}$

Раскроем скобки в числителе:

$(xy - 2)(1 + 2xy) = xy \cdot 1 + xy \cdot 2xy - 2 \cdot 1 - 2 \cdot 2xy = xy + 2x^2y^2 - 2 - 4xy = 2x^2y^2 - 3xy - 2$

В результате получаем дробь:

$\frac{2x^2y^2 - 3xy - 2}{xy}$

Ответ: $\frac{2x^2y^2 - 3xy - 2}{xy}$