Номер 986, страница 219 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

38. Свойства степени с целым показателем. § 12. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 986, страница 219.

986. Вычислите:

a) $5^{-15} \cdot 5^{16};$

б) $(\frac{1}{3})^{-4} \cdot (\frac{1}{3})^{3};$

в) $4^{-8} : 4^{-9};$

г) $(\frac{1}{5})^{2} : (\frac{1}{5})^{4};$

д) $(2^{-2})^{-3};$

е) $(0,1^{-3})^{-1}.$

а) $5^{-15} \cdot 5^{16}$
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются. Это свойство записывается формулой $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$5^{-15} \cdot 5^{16} = 5^{-15+16} = 5^1 = 5$.
Ответ: 5.

б) $(\frac{1}{3})^{-4} \cdot (\frac{1}{3})^{3}$
Используем то же свойство, что и в пункте а): $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$(\frac{1}{3})^{-4} \cdot (\frac{1}{3})^{3} = (\frac{1}{3})^{-4+3} = (\frac{1}{3})^{-1}$.
Число в отрицательной степени равно обратному ему числу в положительной степени ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$).
$(\frac{1}{3})^{-1} = \frac{1}{1/3} = 3$.
Ответ: 3.

в) $4^{-8} : 4^{-9}$
При делении степеней с одинаковым основанием из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя. Свойство: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
$4^{-8} : 4^{-9} = 4^{-8 - (-9)} = 4^{-8+9} = 4^1 = 4$.
Ответ: 4.

г) $(\frac{1}{5})^{2} : (\frac{1}{5})^{4}$
Применяем свойство деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
$(\frac{1}{5})^{2} : (\frac{1}{5})^{4} = (\frac{1}{5})^{2-4} = (\frac{1}{5})^{-2}$.
Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, нужно "перевернуть" дробь и возвести ее в ту же степень, но с положительным показателем: $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.
$(\frac{1}{5})^{-2} = (\frac{5}{1})^2 = 5^2 = 25$.
Ответ: 25.

д) $(2^{-2})^{-3}$
При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются. Свойство: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(2^{-2})^{-3} = 2^{(-2) \cdot (-3)} = 2^6$.
$2^6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 64$.
Ответ: 64.

е) $(0,1^{-3})^{-1}$
Используем свойство возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(0,1^{-3})^{-1} = 0,1^{(-3) \cdot (-1)} = 0,1^3$.
$0,1^3 = 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1 = 0,001$.
Ответ: 0,001.