Номер 992, страница 219 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

38. Свойства степени с целым показателем. § 12. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 992, страница 219.

992. Представьте выражение, в котором $m$ — целое число, в виде степени с основанием 5:

а) $5^m \cdot 5^{m+1} \cdot 5^{1-m};$

б) $(5^m)^2 \cdot (5^{-3})^m;$

в) $625 : 5^{4m - 2}.$

а) Чтобы представить выражение в виде степени с основанием 5, воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^n \cdot a^k = a^{n+k}$. Согласно этому свойству, при умножении степеней их показатели складываются.

$5^m \cdot 5^{m+1} \cdot 5^{1-m} = 5^{m + (m+1) + (1-m)}$

Теперь упростим показатель степени, сложив все его члены:

$m + m + 1 + 1 - m = (m + m - m) + (1 + 1) = m + 2$

В результате получаем:

$5^{m+2}$

Ответ: $5^{m+2}$.

б) Для упрощения этого выражения нам понадобятся два свойства степеней: возведение степени в степень $(a^n)^k = a^{n \cdot k}$ и умножение степеней с одинаковым основанием $a^n \cdot a^k = a^{n+k}$.

Сначала применим правило возведения степени в степень к каждому множителю:

$(5^m)^2 = 5^{m \cdot 2} = 5^{2m}$

$(5^{-3})^m = 5^{-3 \cdot m} = 5^{-3m}$

Теперь исходное выражение имеет вид $5^{2m} \cdot 5^{-3m}$. Применим правило умножения степеней:

$5^{2m} \cdot 5^{-3m} = 5^{2m + (-3m)} = 5^{2m - 3m} = 5^{-m}$

Ответ: $5^{-m}$.

в) В данном случае нам нужно использовать свойство деления степеней с одинаковым основанием: $a^n : a^k = a^{n-k}$. Но сначала необходимо представить число 625 в виде степени с основанием 5.

Найдем нужную степень: $5^1=5$, $5^2=25$, $5^3=125$, $5^4=625$. Таким образом, $625 = 5^4$.

Теперь мы можем переписать исходное выражение:

$625 : 5^{4m-2} = 5^4 : 5^{4m-2}$

Применим правило деления степеней, вычитая из показателя делимого показатель делителя:

$5^{4 - (4m-2)} = 5^{4 - 4m + 2} = 5^{6 - 4m}$

Ответ: $5^{6-4m}$.