Номер 997, страница 220 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

38. Свойства степени с целым показателем. § 12. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 997, страница 220.

997. Представьте выражение $a^{12}$, где $a \neq 0$, в виде степени:

а) с основанием $a^4$;

б) с основанием $a^{-6}$.

а) Чтобы представить выражение $a^{12}$ в виде степени с основанием $a^4$, необходимо найти такой показатель степени $x$, чтобы выполнялось равенство $(a^4)^x = a^{12}$. Для решения этой задачи воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(b^m)^n = b^{m \cdot n}$. Применив это свойство, получим равенство $a^{4 \cdot x} = a^{12}$. Так как основания степеней ($a$) равны, мы можем приравнять их показатели: $4x = 12$. Решив это простое уравнение, находим $x$: $x = \frac{12}{4} = 3$. Таким образом, искомое представление выражения $a^{12}$ есть $(a^4)^3$. Ответ: $(a^4)^3$

б) Аналогично, чтобы представить выражение $a^{12}$ в виде степени с основанием $a^{-6}$, найдем показатель степени $y$, для которого справедливо равенство $(a^{-6})^y = a^{12}$. Используя то же свойство степени $(b^m)^n = b^{m \cdot n}$, преобразуем левую часть: $a^{-6 \cdot y} = a^{12}$. Приравниваем показатели степеней, поскольку основания равны: $-6y = 12$. Находим $y$: $y = \frac{12}{-6} = -2$. Следовательно, выражение $a^{12}$ можно представить в виде $(a^{-6})^{-2}$. Ответ: $(a^{-6})^{-2}$