Номер 1003, страница 221 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

38. Свойства степени с целым показателем. § 12. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1003, страница 221.

1003. Преобразуйте в произведение:

a) $(6a^{-5}b)^{-1}$;

б) $(\frac{3}{4}a^{-1}b^{-3})^{-2}$;

в) $(-0,3x^{-5}y^{4})^{-2}$;

г) $(\frac{7}{8}p^{-6}q)^{-1}$.

а) Чтобы преобразовать выражение $(6a^{-5}b)^{-1}$, нужно каждый множитель в скобках возвести в степень $-1$. Для этого мы воспользуемся свойством степени произведения: $(xyz)^n = x^n y^n z^n$.

$(6a^{-5}b)^{-1} = 6^{-1} \cdot (a^{-5})^{-1} \cdot b^{-1}$

Далее, упростим каждый множитель, используя свойства степеней $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ (для отрицательной степени) и $(x^m)^n = x^{mn}$ (для возведения степени в степень):

$6^{-1} = \frac{1}{6}$

$(a^{-5})^{-1} = a^{-5 \cdot (-1)} = a^5$

$b^{-1} = \frac{1}{b}$

Теперь объединим полученные результаты в одно выражение:

$\frac{1}{6} \cdot a^5 \cdot \frac{1}{b} = \frac{a^5}{6b}$

Ответ: $\frac{a^5}{6b}$

б) Рассмотрим выражение $(\frac{3}{4}a^{-1}b^{-3})^{-2}$. По аналогии с предыдущим примером, возведем каждый множитель в степень $-2$.

$(\frac{3}{4}a^{-1}b^{-3})^{-2} = (\frac{3}{4})^{-2} \cdot (a^{-1})^{-2} \cdot (b^{-3})^{-2}$

Упростим каждый множитель по отдельности. Для дроби в отрицательной степени используем правило $(\frac{x}{y})^{-n} = (\frac{y}{x})^n$:

$(\frac{3}{4})^{-2} = (\frac{4}{3})^2 = \frac{4^2}{3^2} = \frac{16}{9}$

Для переменных используем правило возведения степени в степень:

$(a^{-1})^{-2} = a^{-1 \cdot (-2)} = a^2$

$(b^{-3})^{-2} = b^{-3 \cdot (-2)} = b^6$

Объединим полученные множители в одно произведение:

$\frac{16}{9} \cdot a^2 \cdot b^6 = \frac{16a^2b^6}{9}$

Ответ: $\frac{16a^2b^6}{9}$

в) Преобразуем выражение $(-0,3x^{-5}y^4)^{-2}$. Возведем каждый множитель в скобках в степень $-2$.

$(-0,3x^{-5}y^4)^{-2} = (-0,3)^{-2} \cdot (x^{-5})^{-2} \cdot (y^4)^{-2}$

Для удобства вычислений представим десятичную дробь $-0,3$ в виде обыкновенной: $-0,3 = -\frac{3}{10}$. Теперь упростим каждый множитель:

$(-0,3)^{-2} = (-\frac{3}{10})^{-2} = (-\frac{10}{3})^2 = \frac{(-10)^2}{3^2} = \frac{100}{9}$

$(x^{-5})^{-2} = x^{-5 \cdot (-2)} = x^{10}$

$(y^4)^{-2} = y^{4 \cdot (-2)} = y^{-8} = \frac{1}{y^8}$

Перемножим полученные выражения, чтобы получить окончательный ответ:

$\frac{100}{9} \cdot x^{10} \cdot \frac{1}{y^8} = \frac{100x^{10}}{9y^8}$

Ответ: $\frac{100x^{10}}{9y^8}$

г) Рассмотрим выражение $(\frac{7}{8}p^{-6}q)^{-1}$. Возведем каждый множитель в степень $-1$.

$(\frac{7}{8}p^{-6}q)^{-1} = (\frac{7}{8})^{-1} \cdot (p^{-6})^{-1} \cdot q^{-1}$

Теперь упростим каждый из полученных множителей:

$(\frac{7}{8})^{-1} = \frac{8}{7}$

$(p^{-6})^{-1} = p^{-6 \cdot (-1)} = p^6$

$q^{-1} = \frac{1}{q}$

Соединим все упрощенные части в одно выражение:

$\frac{8}{7} \cdot p^6 \cdot \frac{1}{q} = \frac{8p^6}{7q}$

Ответ: $\frac{8p^6}{7q}$