Номер 1004, страница 221 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

38. Свойства степени с целым показателем. § 12. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1004, страница 221.

1004. Представьте в виде степени произведения выражение:

а) $0,0001x^{-4}$;

б) $32y^{-5}$;

в) $0,0081a^{8}b^{-12}$;

г) $10^n x^{-2n} y^{3n}$, где $n$ — целое число.

а) Чтобы представить выражение $0,0001x^{-4}$ в виде степени произведения, необходимо каждый множитель представить в виде степени с одинаковым показателем. В данном случае, показатель степени у $x$ равен $-4$.

Представим числовой коэффициент $0,0001$ в виде степени с показателем $-4$.

Мы знаем, что $0,0001 = \frac{1}{10000} = \frac{1}{10^4} = 10^{-4}$.

Теперь исходное выражение можно записать так:

$0,0001x^{-4} = 10^{-4}x^{-4}$

Используя свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$, объединяем множители под одним показателем степени:

$10^{-4}x^{-4} = (10x)^{-4}$

Ответ: $(10x)^{-4}$

б) Чтобы представить выражение $32y^{-5}$ в виде степени произведения, необходимо каждый множитель представить в виде степени с одинаковым показателем, равным $-5$.

Представим число $32$ в виде степени с показателем $-5$. Пусть это будет $a^{-5}=32$.

Тогда $a^{-5} = \frac{1}{a^5}$, значит $\frac{1}{a^5} = 32$, откуда $a^5 = \frac{1}{32}$.

Так как $2^5 = 32$, то $(\frac{1}{2})^5 = \frac{1}{32}$. Следовательно, $a = \frac{1}{2}$ или $a=0,5$.

Таким образом, $32 = (0,5)^{-5}$.

Теперь исходное выражение можно записать так:

$32y^{-5} = (0,5)^{-5}y^{-5}$

Используя свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$, получаем:

$(0,5)^{-5}y^{-5} = (0,5y)^{-5}$

Ответ: $(0,5y)^{-5}$

в) В выражении $0,0081a^{8}b^{-12}$ показатели степеней переменных равны $8$ и $-12$. Наибольший общий делитель чисел $8$ и $12$ равен $4$. Попробуем представить все множители в виде степени с показателем $4$.

Используем свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:

$a^8 = (a^2)^4$

$b^{-12} = (b^{-3})^4$

Теперь представим число $0,0081$ в виде степени с показателем $4$.

$0,0081 = \frac{81}{10000} = \frac{3^4}{10^4} = (\frac{3}{10})^4 = (0,3)^4$.

Подставим полученные выражения в исходное:

$0,0081a^{8}b^{-12} = (0,3)^4 (a^2)^4 (b^{-3})^4$

Используя свойство $(abc)^n = a^n b^n c^n$, объединяем множители:

$(0,3)^4 (a^2)^4 (b^{-3})^4 = (0,3a^2b^{-3})^4$

Ответ: $(0,3a^2b^{-3})^4$

г) В выражении $10^n x^{-2n} y^{3n}$ общим множителем в показателях степеней является $n$. Представим каждый множитель в виде степени с показателем $n$.

Используем свойство $(a^m)^k = a^{mk}$:

$10^n$ - уже в нужной форме.

$x^{-2n} = (x^{-2})^n$

$y^{3n} = (y^3)^n$

Теперь исходное выражение можно записать в виде:

$10^n (x^{-2})^n (y^3)^n$

Используя свойство $(abc)^n = a^n b^n c^n$, объединяем все множители под одним показателем степени $n$:

$10^n (x^{-2})^n (y^3)^n = (10x^{-2}y^3)^n$

Ответ: $(10x^{-2}y^3)^n$