Номер 1007, страница 221 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

38. Свойства степени с целым показателем. § 12. Степень с целым показателем и её свойства. Глава 5. Степень с целым показателем. Элементы статистики - номер 1007, страница 221.

1007. Упростите выражение:

а) $(0,25x^{-4}y^{-3})^2 \cdot \left(\frac{x^{-3}}{4y^2}\right)^{-3};$

б) $\left(\frac{a^{-3}b^4}{9}\right)^{-2} \cdot \left(\frac{3}{a^{-2}b^3}\right)^{-3};$

в) $\left(\frac{c^{-4}}{10a^5b^2}\right)^{-2} \cdot (5a^3bc^2)^{-2};$

г) $\left(\frac{x^2y^{-3}}{6z}\right)^{-3} \cdot \left(\frac{x^2y^{-2}}{9z}\right)^2.$

а)

Для упрощения выражения $(0,25x^{-4}y^{-3})^2 \cdot (\frac{x^{-3}}{4y^2})^{-3}$ выполним следующие действия:

1. Упростим первый множитель $(0,25x^{-4}y^{-3})^2$. Для этого возведем в квадрат каждый сомножитель в скобках. Используем свойство степени $(abc)^n = a^n b^n c^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$.

$(0,25)^2 \cdot (x^{-4})^2 \cdot (y^{-3})^2 = 0,0625 \cdot x^{-4 \cdot 2} \cdot y^{-3 \cdot 2} = 0,0625x^{-8}y^{-6}$.

Представим $0,0625$ в виде обыкновенной дроби: $0,0625 = \frac{625}{10000} = \frac{1}{16}$.

Таким образом, первый множитель равен $\frac{1}{16}x^{-8}y^{-6}$.

2. Упростим второй множитель $(\frac{x^{-3}}{4y^2})^{-3}$. Используем свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.

$(\frac{x^{-3}}{4y^2})^{-3} = (\frac{4y^2}{x^{-3}})^3 = \frac{(4y^2)^3}{(x^{-3})^3} = \frac{4^3(y^2)^3}{x^{-3 \cdot 3}} = \frac{64y^6}{x^{-9}}$.

3. Перемножим полученные выражения:

$(\frac{1}{16}x^{-8}y^{-6}) \cdot (\frac{64y^6}{x^{-9}}) = \frac{1 \cdot 64}{16} \cdot \frac{x^{-8}}{x^{-9}} \cdot \frac{y^{-6}}{1} \cdot y^6 = 4 \cdot x^{-8 - (-9)} \cdot y^{-6+6} = 4 \cdot x^{-8+9} \cdot y^0 = 4 \cdot x^1 \cdot 1 = 4x$.

Ответ: $4x$

б)

Для упрощения выражения $(\frac{a^{-3}b^4}{9})^{-2} \cdot (\frac{3}{a^{-2}b^3})^{-3}$ выполним следующие действия:

1. Упростим первый множитель $(\frac{a^{-3}b^4}{9})^{-2}$.

$(\frac{a^{-3}b^4}{9})^{-2} = (\frac{9}{a^{-3}b^4})^2 = \frac{9^2}{(a^{-3})^2(b^4)^2} = \frac{81}{a^{-6}b^8}$.

2. Упростим второй множитель $(\frac{3}{a^{-2}b^3})^{-3}$.

$(\frac{3}{a^{-2}b^3})^{-3} = (\frac{a^{-2}b^3}{3})^3 = \frac{(a^{-2})^3(b^3)^3}{3^3} = \frac{a^{-6}b^9}{27}$.

3. Перемножим полученные выражения:

$\frac{81}{a^{-6}b^8} \cdot \frac{a^{-6}b^9}{27} = \frac{81}{27} \cdot \frac{a^{-6}}{a^{-6}} \cdot \frac{b^9}{b^8} = 3 \cdot 1 \cdot b^{9-8} = 3b$.

Ответ: $3b$

в)

Для упрощения выражения $(\frac{c^{-4}}{10a^5b^2})^{-2} \cdot (5a^3bc^2)^{-2}$ выполним следующие действия:

1. Упростим первый множитель $(\frac{c^{-4}}{10a^5b^2})^{-2}$.

$(\frac{c^{-4}}{10a^5b^2})^{-2} = (\frac{10a^5b^2}{c^{-4}})^2 = \frac{(10a^5b^2)^2}{(c^{-4})^2} = \frac{100a^{10}b^4}{c^{-8}}$.

2. Упростим второй множитель $(5a^3bc^2)^{-2}$.

$(5a^3bc^2)^{-2} = \frac{1}{(5a^3bc^2)^2} = \frac{1}{25a^6b^2c^4}$.

3. Перемножим полученные выражения:

$\frac{100a^{10}b^4}{c^{-8}} \cdot \frac{1}{25a^6b^2c^4} = \frac{100}{25} \cdot \frac{a^{10}}{a^6} \cdot \frac{b^4}{b^2} \cdot \frac{1}{c^{-8}c^4} = 4 \cdot a^{10-6} \cdot b^{4-2} \cdot \frac{1}{c^{-8+4}} = 4a^4b^2 \frac{1}{c^{-4}} = 4a^4b^2c^4$.

Ответ: $4a^4b^2c^4$

г)

Для упрощения выражения $(\frac{x^2y^{-3}}{6z})^{-3} \cdot (\frac{x^2y^{-2}}{9z})^2$ выполним следующие действия:

1. Упростим первый множитель $(\frac{x^2y^{-3}}{6z})^{-3}$.

$(\frac{x^2y^{-3}}{6z})^{-3} = (\frac{6z}{x^2y^{-3}})^3 = \frac{(6z)^3}{(x^2y^{-3})^3} = \frac{6^3z^3}{(x^2)^3(y^{-3})^3} = \frac{216z^3}{x^6y^{-9}}$.

2. Упростим второй множитель $(\frac{x^2y^{-2}}{9z})^2$.

$(\frac{x^2y^{-2}}{9z})^2 = \frac{(x^2y^{-2})^2}{(9z)^2} = \frac{(x^2)^2(y^{-2})^2}{9^2z^2} = \frac{x^4y^{-4}}{81z^2}$.

3. Перемножим полученные выражения:

$\frac{216z^3}{x^6y^{-9}} \cdot \frac{x^4y^{-4}}{81z^2} = \frac{216}{81} \cdot \frac{x^4}{x^6} \cdot \frac{y^{-4}}{y^{-9}} \cdot \frac{z^3}{z^2}$.

Сократим коэффициент: $\frac{216}{81} = \frac{8 \cdot 27}{3 \cdot 27} = \frac{8}{3}$.

Упростим степени переменных:

$\frac{x^4}{x^6} = x^{4-6} = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.

$\frac{y^{-4}}{y^{-9}} = y^{-4 - (-9)} = y^{-4+9} = y^5$.

$\frac{z^3}{z^2} = z^{3-2} = z$.

Соберем все вместе: $\frac{8}{3} \cdot \frac{1}{x^2} \cdot y^5 \cdot z = \frac{8y^5z}{3x^2}$.

Ответ: $\frac{8y^5z}{3x^2}$